En remplaçant dans le second membre p' et q' par leurs valeurs, il vient, sans aucune difficulté: Ainsi, dans les courbes du 2me degré, le rectangle construit sur deux diamètres conjugués est équivalent au rectangle construit sur les axes. Si la conique est une parabole, les équations précédentes La première fait voir que le nouvel axe des x est parallèle à l'axe de symétrie de la parabole, et la seconde que l'axe des y est la tangente à la nouvelle origine (a, b). L'équation générale de la transformée est : y'2 = 2p'x' + q'x'2. 279. IV. Cherchons à quelle condition deux diamètres conjugués de l'ellipse sont égaux. A cette fin, égalons les valeurs de a'2 et de b'2; nous aurons: a2 sin2 a + b2 cos2 a = a2 sin2 ß + b2 cos2 ß; d'où l'on tire: sina = sin2 ß, cos2 α= cos et tga— tg2 3. Comme tg a, tg ẞ sont de signes contraires, puisqu'on a : ce qui prouve que deux diamètres conjugués égaux sont également inclinés sur l'axe des x, axe de symétrie de l'ellipse, et qu'ils sont dirigés suivant les deux diagonales du rectangle construit sur les axes de la courbe (fig. 138). Pour voir si l'hyperbole jouit de la même propriété, il suffit d'égaler les dénominateurs de a'2 et de b'2, en remarquant que b'2 doit être négatif; ce qui donne : En élevant la première équation au carré et en soustrayant la seconde, il vient : ce qui prouve que les deux diamètres conjugués égaux se confondent, puisque tg a et tg 3 doivent être de même signe. Donc, l'hyperbole n'a aucun système de diamètres conjugués égaux. 280. V. L'ellipse n'a aucun système de diamètres conjugués rectangulaires autre que celui des axes de la courbe. Il suffit, pour le prouver, de faire ß relation = 90° + dans la a2 sin a sin ẞ + b2 cos a cos ß = 0) de deux diamètres conjugués. On aura: (a2 — b2) sin a cos α = 0. Le premier facteur ne peut pas être nul, à moins que l'ellipse ne devienne un cercle. Il faut donc que l'on ait : 281. VI. Reprenons les relations qui existent entre les diamètres conjugués et les axes (274). 7 étant l'angle que font entre eux ces deux diamètres. En ajoutant, il vient : Comme on a vu qu'il n'y a pas de système de diamètres conjugués rectangulaires autre que celui des axes de symétrie de la courbe, il s'ensuit que le rectangle construit sur les axes de l'ellipse est parmi tous les parallélogrammes conjugués celui dont le périmètre est minimum. Le second membre de l'équation étant constant, et le produit a'b' étant à son maximum lorsque a'b', on voit que deux diamètres conjugués égaux comprennent le plus grand angle obtus ou le plus petit angle aigu; alors, le seul terme variable s'élève à son maximum, ainsi que le périmètre (a' + b')2 = a2 + b2 + 2ab sin 2ab : siny ce qui prouve que parmi tous les parallelogrammes conjugués, le losange est celui dont le périmètre est maximum. 282. VII. Il n'existe dans l'ellipse aucun système de diamètres conjugués rectangulaires autre que celui construit sur les axes (280). Cependant, on peut circonscrire à cette courbe un carré. En effet, on a : y=px±q, y=p'x ±q, pour les côtés de ce carré. La condition d'ètre tangents à l'ellipse est : a2p2 + b2 = q2 et a2p'2 + b2 = q2 ; ce qui donne p = — p'. La relation 1+ · pp'= 0 fournit : p=-1 et p'=1. 4a2b2 a2 + b2 • La surface de ce carré est 2a + 262; celle du rectangle inscrit qui joint les points de contact est 283. VIII. Chercher le lieu décrit par le point d'intersection M des deux tangentes aux extrémités de deux diamètres d'une ellipse faisant entre eux un angle constant a. Fig. 139. L'équation de OT (fig. 139) est : y' = px'; celle de OT' |