dy Si l'on substitue cette dernière valeur de dans l'équa tion précédente, on obtient : dx (2Ay + Bx + D) ♪ + 2Cx + By + E = 0, pour l'équation du diamètre demandé. En réunissant les termes en y et en x, on a : (2A♂ + B) y + (2C + Bồ) x + D♂ + E · = 0, qui est la même que celle obtenue précédemment (270) pour le diamètre des cordes MN. On a trouvé (270) pour la direction du diamètre : Bo+ 2C 2A0+ B En opérant la division par rapport à ò̟, il vient : ce qui prouve que dans la parabole tous les diamètres sont parallèles entre eux et ont pour coefficient angulaire B d' 2A Donc, pour exprimer dans la parabole que les cordes sont perpendiculaires au diamètre d', il suffit de poser dans l'équation précédente (4A2 + B3) y + 2B (A + C) x + 2AD + BE = 0, pour l'équation de l'axe de symétrie de la parabole. L'équation des axes de symétrie des courbes à centre est y-b=z(x − a) = ου y—biga (x — a), a et b étant les coordonnées du centre de la courbe, et tg × l'une des deux valeurs de z donnée par l'équation précédente (270). 272. Soient y2 = 2px + qx2 l'équation des courbes du deuxième degré, H S Fig. 133. Y R B S' OX et OY les axes coordonnés, ce dernier étant parallèle à CB, conjugué de OX (fig. 133). Les deux droites CR et CS, qui passent En faisant x=0 dans ces dernières, on obtient successi Si les droites CR et CS sont dirigées suivant deux diamètres conjugués, on a : Sur RS comme diamètre, décrivons une circonférence et, au point O, élevons une perpendiculaire IOH au diamètre RS; il viendra : OD = CB. Il sera facile de déterminer, d'après cette propriété, la direction des axes, lorsqu'on connaîtra les deux diamètres conjugués OC, CB. On voit donc que, si d'un point d'une courbe du 2me degré à centre, on mène une tangente à la courbe, le produit des distances du point de contact aux points où cette tangente rencontre deux diamètres conjugués est égal au carré du demi-diamètre conjugué de celui qui passe par le point de contact. 273. L'équation de la tangente RTS (fig. 154) est : yy' = (p — qx') x + px'. La parallèle AS à l'axe des y a pour équation Pour la tangente R'T'S' (fig. 134), on aura de même : ce qui prouve que les droites RS', R'S se coupent en un même point I du diamètre conjugué OA qui passe par les deux points de contact. On voit qu'une tangente quelconque détermine sur deux tangentes parallèles, à partir du point de contact, deux segments dont le rectangle est constant et équivalent au carré du demi-diamètre conjugué parallèle aux deux tangentes. Si l'on joint les milieux M, M' des longueurs RS', R'S, on obtiendra une droite passant par le centre de la courbe; d'où dérive un moyen de déterminer le centre d'une conique, lorsqu'on connait celle-ci par ses cinq tangentes. 274. L'équation des courbes du 2me degré rapportées à leurs axes de symétrie, l'origine étant au centre de ces courbes, est: a2y2+b2x2= ± a2b2. Cherchons s'il existe une direction d'axes coordonnés obliques pour laquelle l'équation précédente conserve la même forme, l'origine étant la mème, c'est-à-dire, au centre de la courbe. A cette fin, prenons les formules: x= = x' cosa + y' cos ß, y = x' sin a + y' sin ẞ, = qui servent à passer d'un système d'axes rectangulaires à un autre ẞa de même origine. En substituant ces valeurs de x et de y dans l'équation de la courbe, il vient : (a2 sin2 ßb2 cos2 ß) y'2 + (a2 sin2a ± b2 cos2 a) x' + 2 (a2 sin a sin ẞ ± b2 cosa cos ß) x'y' =± a2b3. Comme les quantités a et ẞ sont arbitraires, on pourra toujours en disposer pour annuler le coefficient du terme en x'y', ce qui donne : a2 sin a sin ẞb'cos a cos ẞ=0; d'où tg a tg = 士 b2 a2 On voit que les nouveaux axes coordonnés sont deux diamètres conjugués de la courbe. L'équation de celle-ci se réduit à (a2 sin2 ß+ b2 cos2 ß) y'2 + (a2 sin2 a ± b2 cos2 a) x'2 =±a2b2. En faisant successivement y'-0 et x'= 0, et en désignant par a' et par b' les longueurs OA', OB' (fig. 135) des deux demi-diamètres conjugués, on obtient: |