en ayant égard aux relations qui précèdent, on a :

Les coefficients de y, et de x, sont des constantes de la courbe donnée, indépendantes des variables x1, y1; ce qui prouve que le lieu cherché est une ligne droite à laquelle on donne le nom de polaire du point P, qui prend le nom de pôle. Il est évident que la polaire représentée par l'équa

tion cy1 + dx + 2e0, doit passer par les deux points de contact T', T" des tangentes PT', PT" et qu'elle coïncide ainsi avec la corde des contacts. Cette équation représente aussi le lieu des points d'intersection des droites mobiles AC, BD, comme il est facile de le démontrer.

On voit donc que, si d'un point P situé dans le plan d'une courbe du 2me degré, on mène deux sécantes mobiles PAB, PCD, le lieu N des points d'intersection directe et le lieu M des points d'intersection inverse sont situés sur une même droite.

Lorsque le point P est à l'intérieur de la courbe, la polaire est en dehors de celle-ci; le point P se trouvant sur la courbe même, la polaire se confond avec la tangente et le pôle avec le point de contact.

Si l'on mène par le point P (fig. 127) deux droites PAB, PCD qui coupent une courbe du 2me degré en quatre points A, B, C, D, et qu'on unisse ces points directement et inversement, la droite MN, qui passe par le point M, intersection des deux droites AD, BC, rencontrera la courbe aux deux points T', T" qui sont les points de contact des tangentes PT', PT" menées à la courbe par le point P: de là, un procédé pour mener par un point P, donné en dehors d'une courbe du 2me degré, deux tangentes, au moyen la règle seulement.

de

256. On sait (no 155) qu'une droite AB est divisée harmoniquement aux points C et D, lorsqu'on a :

La polaire MN de l'origine, du point P, rencontre la droite PB au point I, conjugué harmonique du point P (fig. 127).

Pour obtenir la distance PI, il suffit de faire y=0 dans l'équation de la polaire

ce qui démontre aussi ce théorème :

Étant donnée une courbe du 2me degré, si, par un point P du plan, on mène une sécante PAB, le lieu du point 1, conjugué harmonique du point P par rapport aux deux points d'intersection A et B de la sécante et de la courbe, est une ligne droite.

Si le point B est à l'infini, on tire:

d'où ce théorème : Le segment de la droite menée par un point fixe parallèlement à l'asymptote d'une hyperbole ou au diamètre d'une parabole, compris entre ce point et sa polaire, est divisé par la courbe en deux parties égales. Si le point I est à l'infini, on a :

PA=― PB;

donc, la corde menée par un point, parallèlement à sa polaire, est divisée par ce point en deux parties égales.

Deux points sont dits conjugués par rapport à une conique, lorsque la polaire de l'un de ces points passe par l'autre point; ou bien, deux points P et I sont conjugués harmoniques par rapport à une conique, lorsqu'ils forment sur la droite PI, aux points de rencontre A, B avec la courbe, un rapport harmonique.

Lorsqu'une droite rencontre une conique, l'un des points conjugués est à l'intérieur de la courbe, et l'autre à l'extérieur.

On nomme droites conjuguées deux droites telles que le pôle de l'une de ces droites se trouve sur l'autre droite; ou, deux droites sont conjuguées harmoniques par rapport à une conique, lorsque leur point d'intersection se confond avec celui de deux tangentes réelles ou imaginaires à cette conique.

Quadrilatère inscrit.

257. Dans un quadrilatère ABCD, inscrit dans une conique, le point de rencontre M des deux diagonales AD, BC est le pôle de la troisième diagonale PN qui joint les deux points de rencontre P, N, des côtés opposés.

Pour trouver la polaire du point M, il faut, en effet,

Fig. 128.

M

A

B

mener par ce point deux cordes AD, BC les tan

IN gentes aux extrémités de ces cordes se coupent deux à deux sur la polaire du point M, comme aussi les côtés opposés du quadrilatère inscrit, ce qui détermine la droite PN (fig.128). D'où il suit que deux droites conjuguées quelconques et la polaire de leur point d'intersection forment trois droites conjuguées deux à deux.

Il est évident aussi que le point de concours des deux côtés opposés du quadrilatère inscrit est le pôle de la droite PM, qui joint le point de rencontre P des deux autres côtés au point de rencontre M des deux diagonales.

On voit que le triangle MNP, formé par les points de

rencontre deux à deux des trois diagonales du quadrilatère complet ABCD est tel, que chaque côté a pour pôle le sommet qui lui est opposé; les trois points M, N, P for-. ment un système de trois points conjugués. Les deux points M et N sont situés sur la polaire du point P, et deux côtés quelconques du triangle MNP sont deux droites conjuguées.

Quand trois points sont conjugués deux à deux, il y en a un à l'intérieur de la courbe, et les deux autres au dehors.

Quand trois droites sont conjuguées deux à deux, il y en a toujours deux qui rencontrent la courbe et une autre qui ne la rencontre pas.

Quadrilatère circonscrit

258. Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique, l'une des trois diagonales du quadrilatère complet ABCDEP est la polaire du point d'intersection des deux

Ces droites AC, BD, EP sont conjuguées deux à deux, ainsi que les trois points G, M, I, formés par leurs points de rencontre. La droite GI a pour pôle le point M; le