Ces deux proportions prouvent que le foyer F se trouve à l'intersection de deux circonférences que l'on sait décrire, puisque les longueurs MR, M'R', M"R" sont connues. 232. L'équation de l'ellipse est

y2 = 2px — qx2.

En faisant y=0, on obtient pour la valeur du grand axe :

En résolvant l'équation précédente par rapport à x, on a:

et le maximum de y est égal à; la valeur correspon

axes de symétrie de l'ellipse; la position des foyers F, (fig. 110) est déterminée par les valeurs :

F'

On voit qu'ils sont éloignés du centre de la mème distance, marquée par PV-9

9

On a pour la position des directrices DR, D'R' :

Les deux directrices de l'ellipse sont donc à la même distance du centre, et perpendiculaires au grand axe de symétrie. Les distances :

ce résultat prouve que le foyer est un point qui divise le grand axe en deux segments, tels que le rectangle de ces parties est équivalent au carré construit sur le demi-second axe de l'ellipse.

233. Cette propriété remarquable fournit une deuxième définition des foyers, et un procédé très-simple pour déterminer la position de ces points quand on connait les axes de la courbe.

de mener une parallèle à l'axe AA'. Les pieds F, F' des perpendiculaires abaissées des points d'intersection M, M', donnent les deux foyers de la courbe (fig. 111).

Le rectangle des distances CF', CD' (fig. 110), est également remarquable. On a :

Le demi-grand axe est donc moyen proportionnel entre les distances du centre au foyer, et du même point à la directrice. Il est évident que les mêmes propriétés existent pour l'hyperbole; afin de les démontrer, il suffit de laisser à q le signe positif, comme il se trouve dans les formules.

La parabole étant dépourvue de centre, il n'y a pas lieu de s'en occuper.

Exercices.

234. Chercher le lieu décrit par le foyer d'une parabole variable passant par trois points donnés A, B, C.

x, y représentant les coordonnées du foyer mobile F et d', d', d'' les distances de ce point aux trois points donnés A, B, C, on aura, pour déterminer l'équation du lieu, le système :

=

ga + h ♪ (1),
ga'h' (2),
fb + h d" (5),

f2 + g2=1 (4),

dont la résolution ne présente aucune difficulté.

Si l'on veut chercher le lieu décrit par les foyers des courbes du 2me degré passant par quatre points quelconques A, B, C, D, on aura, en représentant par (a, b), (a', b'), etc...., les coordonnées de ces points, et par d, d', etc.... leur distance au foyer mobile F, les équations :

ce qui donne pour l'équation du lieu le système :

La détermination des arbitraires f, g, h ne présente aucune difficulté; mais, après substitution de ces valeurs dans la quatrième équation, si l'on veut faire disparaître les radicaux, on arrivera à une équation finale du 6me degré, qui se décompose en deux équations du 3me degré chacune lorsque les quatre points A, B, C, D forment un quadrilatère inscrit.

235. II. Chercher le lieu décrit par les foyers des courbes du second degré qui ont une directrice commune et qui passent par deux points donnés A et B.

Par l'un des points, A, par exemple, on pourra toujours

nées du foyer mobile F qui décrit le lieu.

L'équation des courbes du 2me degré par rapport aux foyers et aux directrices,

(y — (3)2 + (x — a.)2 = (fy + gx + h)2,

se réduit à :

(y — ß)2 + (x − a)2 — g2x2,

=

puisque la directrice, fy + gx+h=0, est prise pour l'axe des ordonnées.

Si nous changeons les coordonnées a, ß du foyer en *1, 94, il viendra :

(y — y1)2 + (x — x1)2 — g2x2,

équation renfermant une seule arbitraire, g.

Comme la courbe mobile passe par les deux points A et B, on aura les deux équations :

y} + (a — x ̧)2 = g2a2,

(n − y1)2 + (m − x1)2 — g3m3.

En éliminant g, on obtient :

=