Y

Donc, si du point C', situé sur l'axe de symétrie, comme

l'abscisse de ce point. Ce cercle est tangent à la conique à son sommet (fig. 103).

ce qui prouve que la différence des distances d'un point quelconque M d'une conique à l'un des foyers F et au point de contact T du cercle décrit sur le paramètre comme diamètre et du point C' comme centre est constante, et égale à l'abscisse du foyer.

Pour l'ellipse, q est négatif et l'on a :

ce qui prouve que la somme des distances du point M au second foyer F' et au point de contact T du cercle précité est constante, et égale à l'abscisse de ce foyer. De là un procédé très-simple pour décrire l'ellipse d'un mouvement continu, au moyen d'une équerre et d'un fil de longueur constante OF'. Une des extrémités de ce fil est fixée à l'un des foyers et la seconde extrémité au point T de l'équerre C'TM dont l'un des côtés C'T de l'angle droit est égal au rayon de la circonférence focale, le point fixe C' étant au centre C' de ce cercle (fig. 103). Lorsqu'on fait mouvoir l'équerre, l'extrémité M d'une pointe, qui tient le fil bien tendu contre le côté TM de l'équerre, décrit dans son mouvement l'ellipse.

Il résulte aussi évidemment des mèmes propriétés le théorème suivant :

Si un fil, de longueur constante, est tendu de manière que ses deux parties soient constamment tangentes à deux cercles égaux, le sommet de l'angle, formé par le fil, décrit une ellipse doublement tangente à chacun des deux cercles, et symétriquement placée par rapport à ceux-ci. En ajoutant (III) et (IV), il vient :

ce qui prouve que l'ellipse est une courbe dont la somme des deux rayons vecteurs menés des foyers F, F' à un point

quelconque M de la courbe est constante, et égale à la longueur du grand axe OA =

2p

Les rayons vecteurs MF', MF de l'hyperbole (fig. 104)

f'étant l'abscisse du second foyer F.

Le procédé de construction que l'on tire de ces formules est tout à fait analogue à celui qui précède pour l'ellipse. En soustrayant, on a :

Ainsi, dans l'hyperbole la différence des deux rayons vecteurs est constante et égale à l'axe transverse

2p

Pour la parabole (fig. 105), q=0 et le rayon vecteur

Si, à une distance OD=p de l'origine, on mène une

ce qui indique que la longueur de la tangente au cercle précité est égale à l'abscisse de la parabole. On a :

De cette propriété découle évidemment un procédé de construction de cette courbe, analogue à ceux qui précèdent et indépendant de la directrice.

Directrices.

213. Les directrices sont des droites situées dans le plan des courbes du 2e degré telles que le rapport de la distance d'un point quelconque de la courbe au foyer et à l'une de ces droites reste toujours constant.

Cherchons la position de ces droites.

On a pour l'expression générale du rayon vecteur FM :

FM = xV1+q + − ? (1 ‡VI + q).

q

En représentant comme précédemment l'abscisse des foyers (1 = √1 + q) par f, il vient :

Soient OD d une parallèle à l'axe des y, OP= x,

MF

Ainsi, les ellipses et les hyperboles possédant chacune deux foyers possèdent aussi chacune deux directrices; et, suivant que le rapport est plus petit, plus grand que l'unité ou égal à celle-ci, la courbe est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

MR

214. Si l'on prend pour l'équation de la conique celle de l'ellipse a2y2+ b2x2= a2b2, et que l'on remplace y par sa valeur tirée de cette équation, on aura (210):

2

b

MT — x2 — 2xx + a2 + — («2 — x2) — 2ß - √ a2 — x2 + ß2 — R2. a2 —