On voit, à l'inspection de l'équation de la transformée, qu'à une même valeur de x', positive ou négative, répondent chaque fois deux valeurs égales et de signes contraires de y', et réciproquement; de sorte que l'axe des x partage un système de cordes parallèles à l'axe des y en deux parties égales.

Les axes coordonnés qui sont dirigés suivant les diamètres de la courbe, sont donc tels, que chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes qui sont parallèles à l'autre ces diamètres sont donc conjugués. Chacun partage la courbe en deux parties égales, mais non superposables, puisque les nouveaux axes coordonnés sont obliques, et font entre eux un angle ẞ—a.

Cherchons la longueur de chaque diamètre conjugué.

A cette fin, faisons successivement dans l'équation de la transformée y' = 0 et x' = 0. En représentant par a' et par b' les valeurs particulières de x' et de y', depuis l'origine ou centre de la courbe jusqu'au point de rencontre de chaque diamètre avec celle-ci, on aura:

N'a' = = + F', M'b'2 = + F';

La troisième exprime évidemment la condition pour que les diamètres a' et b' soient conjugués.

Si l'on y remplace tg a et tg ẞ par leurs valeurs prises dans les deux premières, il devra en résulter une relation entre 2a, 2b' et 2a, 2b, ces derniers représentant les axes de symétrie des courbes dont 2a' et 26' sont les longueurs des diamètres conjugués.

On sait qu'on a trouvé pour a et b les valeurs :

Ces valeurs représentent les longueurs des axes de symétrie des courbes, en fonction des coefficients A, B, C, etc., de l'équation générale. On trouvera plus loin les relations dont il est question précédemment entre ces axes et les diamètres conjugués. On n'a actuellement pour but que la réduction de l'équation générale à des formes plus simples.

202. Nous allons encore employer à cette fin un dernier procédé qui nous parait très-facile. En résolvant l'équation :

Ay2+ Bxy + Cx2 + Dy + Ex + F = 0)

par rapport à y, on a :

Bx+D 1

2A

土 V(B2-4AC)x+2(BD-2AE)x+D2-4AF

Bx + D
2A

On sait que l'expression y

=

si

représente un diamètre de la courbe, et que l'ordonnée de celle-ci, pour une abscisse quelconque, se compose de l'ordonnée de ce diamètre, plus ou moins la valeur y' que le radical acquiert, quand on donne à x la valeur précitée. Il s'ensuit que, l'on prend pour nouvel axe des x ce diamètre, l'ordonnée de la courbe se réduira à la valeur y' marquée par le radical, puisqu'on devra considérer comme nulle l'ordonnée du diamètre.

Soient donc OX, OY (fig. 96) des axes rectangulaires, (la

marche étant la même s'ils étaient obliques); IH, le diamètre

des x, HX', H étant la nouvelle origine. Il est clair qu'on a la proportion: x: x' = OI IH, et, puisque le triangle OIH est rectangle,

En représentant le coefficient de x' par r, on a :

x = rx'.

Si nous substituons ces valeurs dans l'expression géné

rale de

y' =

1

2A

·V (B2 — 4AC)r2x22 + 2(BD —— 2AE)rx' + D2 — 4AF,

en désignant par n, p, q les coefficients de rx'.

En faisant disparaître le radical, il vient :

4A2y'2 = nr2x22 + 2prx' + q.

Faisons mouvoir l'axe des y parallèlement à lui-même, à l'effet de faire disparaitre, soit le terme indépendant de x', soit le terme du premier degré en x'. A cette fin, posons xx" + K.

Remplaçons dans l'équation précédente, il viendra :

4A2y"2 = nr2x"2 + 2 (nr2K + pr)x" + nr2K2 + 2pKr + q. Profitant de l'indétermination de K pour faire disparaitre la quantité constante, on aura :

ur2K2 + 2pKr + q = 0,

équation qui assigne à K, pour les ellipses et les hyperboles, d'une manière générale, deux valeurs réelles, et pour la parabole, une seule. On peut donc ramener, par ce procédé, toutes les courbes du second degré à la forme:

4A2y'2 = nr2x''2 + 2rV (p2 — nq)x'',

équation qui représente une ellipse ou une hyperbole, suivant que n est négatif ou positif, et une parabole lorsque = 0.

n=

Faisons disparaitre, en second lieu, le terme du premier degré en x", en posant :

valeur qui devient infinie pour les paraboles, en admettant que p ne soit pas nul; dans ce cas, la courbe dégénérerait en deux droites parallèles, comme on l'a déjà dit (197). Cette valeur de K n'est donc possible que pour les ellipses et les hyperboles; en Y ayant égard, la transformée de

Ainsi, l'équation générale

Ay2 + Bxy + Cx2 + Dy + Ex + F = 0,

peut se ramener, par ce procédé, à la forme : y2 = 2p'x + q'x2

pour les trois genres de courbes; et, à la forme :

A'y' + C'x'D',

pour les ellipses et les hyperboles.

203. APPLICATIONS. I. Soit à construire la courbe représentée par l'équation

Cette courbe ne peut être qu'une ellipse (fig. 97), puisque B2-4AC<0.