et diminuée de la même quantité qui est la valeur que prend le radical quand on y fait x = OP.

Soit GM cette valeur du radical; de sorte que les deux ordonnées de la courbe sont :

En faisant x=OP' et répétant la même construction que précédemment, on verra que NN' est une corde parallèle à MM' dont G' est le point milieu, et qu'ainsi la droite GG' représentée par l'équation

est un diamètre de la courbe. Les équations

2Ay+ Bx + D = 0 et 2Cx + By + E=0

sont deux diamètres qui, par leur intersection, déterminent la position du point qu'on nomme centre dans les courbes du 2me degré.

Si les coefficients A et C sont de signes contraires,

B2-4AC sera toujours positif, puisque les deux termes de ce binôme seront positifs : dans ce cas, la courbe ne pourra être qu'une hyperbole.

176. ELLIPSE. Si B2-4AC est négatif, la courbe ne pourra avoir aucun point à l'infini; elle sera limitée de toutes parts entre quatre parallèles aux axes. Lorsque la condition B2-4AC <0 est remplie, on ne peut assurer pour cela que l'ellipse existe, car celle-ci peut-être imaginaire.

Pour avoir les points où le diamètre rencontre la courbe, il est évident qu'il faut chercher les valeurs de x qui rendent nul le radical

1

(B2.

2A

4AC) x2 + 2 (BD — 2AE) x + D2 —— 4AF.

Les racines de l'équation

(B2 — 4AC) x2 + 2 (BD — 2AE) x + D2 — 4AF

= 0,

peuvent être : 1o réelles et inégales; 2° réelles et égales;

1° Admettons que les deux racines x', x", qui annulent

soient réelles et inégales. La valeur générale de y pourra se mettre sous la forme :

change de signe, les deux racines x', " étant réelles, seulement lorsque

Soient (fig. 85), x' — OA, x′′ —OA', AE et A'E' étant les ordonnées correspondantes du diamètre. Désignons par E, E', les points où la courbe rencontre ce diamètre, qu'on sait tracer d'après son équation.

Pour toute valeur positive de x, moindre que x', les

sera imaginaire: la courbe ou le lieu ne pourra donc avoir aucun point entre l'axe des y et la parallèle AE. Si x = x', le radical devient nul et l'on obtient le point E où la courbe rencontre le diamètre

Bx' + D
2A

Pour toute valeur positive de x, plus grande que x' et moindre que x", les deux facteurs x' - X, X- - x" sont tous deux négatifs; le radical est constamment réel et, à

la valeur de x est comprise entre celles ci. Le produit — n2 (x − x′) (x— x''), situé sous le radical, sera positif si x > x' < x', x" étant la plus grande des deux racines.

chaque valeur de x, répondent deux valeurs de au-dessus et l'autre au-dessous du diamètre IEE'.

=

y, l'une

Lorsque xx", le radical s'annule, et l'on a le second point E', où l'ellipse rencontre le diamètre. Si x> x" et, à plus forte raison, est plus grand que x', le facteur x' — x est négatif, et xx" est positif; le radical devient de nouveau imaginaire, et l'ellipse cesse d'exister.

Enfin, si l'on change x en - x, le facteur x' x devient x' + x; il est toujours positif, tandis que le second, xx' (x+x'), conserve constamment le signeLe radical est imaginaire pour toute valeur négative de x. La courbe ne possède aucun point du côté des x négatifs; de sorte que l'ellipse existe seulement entre les parallèles AE, A'E'.

Le trinome

n2x2 + 2px + q est nul pour une valeur finie quelconque de x.

La variable x passant par tous les états de grandeur finie, depuis xx' jusqu'à x=x", le trinome sous le radical passe lui-même, sans devenir infini, par tous les états de grandeur correspondants. Parmi ceux-ci, il en est un qui est maximum.

=0A +

d'où

4A

4

En portant, à partir du point G (fig. 85), sur l'ordonnée BG du diamètre, au-dessus et au-dessous de ce dernier, deux longueurs GT, GT', égales à n (*,*), on aura les deux points T, T' de l'ellipse les plus éloignés du diamètre. On voit que la courbe est tangente aux points T, T' des deux droites R' S' et RS, parallèles au diamètre IEE', et qu'elle est aussi tangente aux deux points E, E' des deux droites AR', A'S', parallèles à l'axe des y.

177. 2o Si les racines de l'équation

Alors, l'ellipse infiniment petite se réduit à un point,

ou bien aux deux droites imaginaires qui précèdent. On conçoit que les points de rencontre d'une droite quelconque avec une courbe qui se réduit ainsi à un point soient imaginaires.

178. 5° Les racines qui satisfont à l'équation - n2x2+2px+4=0 étant imaginaires, le trinôme conq serve le signe négatif de son premier terme, quelle que soit la valeur de x: le radical est imaginaire, et l'ellipse ne peut exister.