Ces valeurs substituées dans (3) donnent pour le lieu [(a−c)q + (ap + 1)b]yi + b[a + c + p (1 + ac)]x1y1

+

[(a−c)q— (a + p)bc]x; + b[(1 b[(1 − ac) q— (1 + ap)bc] y1 + b[(c − a) q + bc(a + p)jx, = 0.

Si l'angle = 90°, la droite DE étant perpendiculaire à AB, en désignant par m sa distance à l'origine, on aura dans ce cas les équations:

le lieu devient :

(b — m)y; + c(b − m−1)x,y,— mx} + bc(m − b)y,+bmx1 = 0,

et il est encore représenté par une équation du 2me degré en x1, 1, au terme constant près. Enfin, si l'angle ẞ devient nul, l'équation précédente se réduit à

150. Nous avons vu précédemment (126) que Ax + By + C = 0, A'x + B'y + C' = 0, représentant deux droites quelconques, l'équation

Ax + By + C + k(A'x + B'y + C') = 0

représentait aussi une droite quelconque passant par leur point d'intersection, l'arbitraire k pouvant être aussi bien négative que positive.

Il est évident qu'au lieu de l'équation

Ax + By + C = 0,

on peut également prendre l'équation

équation qui représente la droite passant par le point d'intersection des deux droites = 0, 60, puisque cette équation a- k B 0 est satisfaite lorsqu'on y fait en même temps a=0, B

Fig. 67.

A

= = 0.

la distance du même point à la droite OB (3) est:

x, cos ẞ + y, sin ß — ♪′ — 0.

De sorte qu'on aura pour le rapport k de ces distances:

Le lieu est donc tel que le rapport des distances de l'un quelconque de ses points aux deux droites a, ẞ est constant; ce qui prouve que ce lieu est une droite MO dont l'équation est :

Il est évident, d'après ce qui précède, que l'équation

représente encore une droite passant par le point O, intersection des deux droites a et ẞ, mais qu'elle est extérieure à l'angle AOB. Alors, une des distances MP ou MQ doit changer de signe, comme étant dirigée en sens contraire de celles qui précèdent considérées comme positives.

Appliquons ces principes à la résolution des théorèmes suivants :

151. THÉORÈME I. Les trois bissectrices AD, BE, CF d'un triangle quelconque ABC se coupent en un mème point (fig. 68).

leur somme est donc identiquement nulle.

On voit que ces trois droites se coupent en un même point.

152. THÉORÈME II. Les trois médianes d'un triangle se coupent en un même point.

Soient a, B, y les équations des trois côtés opposés aux ß angles A, B, C du triangle. Les médianes partant des

sommets A, B, C ont respectivement pour équations : Esin Bysin C=0, ysin C-a sin A=0, asin A-3sin B=0.

En ajoutant le système de ces trois équations, l'équation résultante est évidemment satisfaite: ce qui prouve que ces trois médianes se coupent en un mème point.

153. THEOREME III. Les trois hauteurs d'un triangle quelconque se coupent en un mème point.

En se servant des mêmes désignations que précédemment, on aura pour les hauteurs abaissées des sommets A, B, C, respectivement les équations :

cos By cos C=0, y cos C-a cos A=0, a cos A - 3 cos B=0, qui prouvent que ces trois droites se coupent en un mème point.

154. PROBLÈME. Les trois côtés d'un triangle quelconque passent par trois points fixes P, Q, R, en ligne droite. Deux sommets A et B se meuvent sur deux droites fixes OD, OE: on demande le lieu décrit par le troisième sommet C, intersection des deux droites AQC, BRC (fig. 69).

Quelles que soient les équations des trois droites fixes