renferme l'équation y = ax, faisons x1 dans celle-ci; il viendra:

У =a.

Soit l'angle YOX des axes, et a l'angle que la droite OM fait avec l'axe des x, a étant l'ordonnée IH correspondante à l'abscisse O1 = 1 (fig. 41).

Ainsi, le coefficient a, qui prend le nom de coefficient angulaire de la droite dans l'équation yax, est égal au rapport des sinus des angles que cette droite OM fait avec l'axe des x et celui des y.

Si les axes sont rectangulaires, ce rapport est égal à la tangente trigonométrique de l'angle que la droite OM fait avec l'axe des x.

117. 2° Supposons que C ne soit pas nul et qu'il soit positif. L'équation Ax + By:

=

C donne :

en le désignant, comme précédemment, par a, on aura :

b représentant

y = ax + b,

Puisque l'équation y=ax représente la droite OM, il est évident que l'équation y = ax + b représente une seconde droite parallèle à la première, et rencontrant l'axe des y à une distance OK b de l'origine. En effet, pour une mème abscisse quelconque x=OP, la différence des ordonnées NP, MP est toujours la même et égale à b. On a donc pour un point quelconque N de la droite KN (fig. 41) : MP=b, NP MP +b et y = ax + b.

NP

=

On prouverait facilement que l'équation y = ax — b est celle de la parallèle K'N' à OM, rencontrant l'axe des y à une distance négative OK'-b de l'origine. De même, yax étant l'équation de la droite SOS', l'équation y = ax + b représente la droite KR, parallèle à SOS', et y-ax-b la parallèle K'R' à la même droite.

L'équation générale du 1er degré à deux variables Ax By C représente donc, dans tous les cas, une ligne droite.

=

118. Réciproquement, toute droite qui fait avec l'axe des x un angle déterminé a et qui coupe l'un des axes,

l'axe des y, par exemple, à une distance quelconque de l'origine, a pour lieu une équation du premier degré à deux variables.

Soit une droite quelconque RN qui rencontre l'axe des y

0 étant l'angle des axes. L'équation de la droite RN est donc :

depuis 0° jusqu'à 360°, la droite RN prendra toutes les positions possibles autour du point K. L'angle a étant plus petit que 0, le rapport qui est a, sera positif, et

négatif lorsque a > 0.

sinx

sin (-x)

Si la droite rencontre l'axe des y au-dessous de l'axe des x, à une distance b de l'origine, on aura encore:

N'P

et enfin yax-b en faisant, comme précédemment,

Il suit de ce qui précède qu'une droite quelconque, qui rencontre l'axe des y à une distance ±b de l'origine et qui fait un angle quelconque connu a avec l'axe des x, est représentée par une équation complète du premier degré, à deux variables, x, y, de la forme:

=

Lorsque la droite est donnée de position, a, b, sont des nombres, des quantités déterminées et connues; mais, aussi longtemps que la droite n'est pas fixée de position, a et b sont des constantes arbitraires qui peuvent avoir des valeurs quelconques. Ces constantes font voir qu'on peut soumettre une droite à deux conditions quelconques: 1o à passer par deux points donnés; 2o à être parallèle ou perpendiculaire à une droite donnée de position, etc...

sin (

sin a

=

119. a étant connu dans a) a, on peut déterminer l'angle, c'est-à-dire, chercher l'angle qu'une droite, donnée par son équation y = ax + b, fait avec l'axe des x.

On a :

sina a sin cos a a cos e sin a;

Tel est l'angle que la droite y = ax + b fait avec l'axe des x. Il est facile de rendre cette formule calculable par logarithmes.

il

120. Pour avoir les distances m et n de l'origine aux points où la droite rencontre l'axe des x et celui des y, faut faire successivement y = 0 et x ·

Fig. 43.

R

H

= m, x=

0 et y = n

dans l'équation

Ax+ By C.

=

forme facile dans certains cas de l'équation de la droite,