points d'intersection A et B des axes avec les droites MA, MB qui leur sont parallèles (fig. 39).

La distance OA de l'origine au point A, où la parallèle à l'axe des y rencontre l'axe des x, est l'abscisse du point M; et la distance OB de l'origine au point B, où la parallèle à l'axe des x rencontre l'axe des y, est l'ordonnée du même point.

Les abscisses prises de O vers X étant positives, celles de O vers X' seront négatives, conformément à la définition des quantités négatives. Les ordonnées mesurées de O vers Y étant positives, celles de O vers Y' seront négatives. L'abscisse et l'ordonnée d'un point sont les coordonnées de ce point.

Les coordonnées d'un point étant connues, le point est complétement fixé de position. En effet, l'abscisse du point M étant x=OA=a, le point dans le plan doit se trouver sur la parallèle AM à l'axe des y, et l'ordonnée du même point étant y OBb, ce point doit se trouver aussi sur la parallèle BM à l'axe des x: il ne peut donc se trou

=

ver qu'au point d'intersection de ces deux droites, et il est tout à fait déterminé de position (*).

Suivant que le point dans le plan des axes est situé au-dessus ou au-dessous de l'axe des x, les ordonnées de ce point sont positives ou négatives; selon la position du point, à droite ou à gauche de l'axe des ordonnées, les abscisses du point sont positives ou négatives. Il suit de là que, si le point se trouve :

1° Dans l'angle YOX, les coordonnées seront positives; 2o Dans l'angle Y'OX', elles seront négatives;

3o Dans l'angle YOX', l'abscisse sera négative, l'ordonnée positive;

4o Dans l'angle opposé Y'OX, l'abscisse sera positive, l'ordonnée négative.

L'abscisse d'un point quelconque, situé sur l'axe des ordonnées, étant nulle, il est évident que l'équation x = 0 représente l'axe des y, puisque cette équation convient à tous les points de l'axe des y. De même, pour un point quelconque de l'axe des x, il vient aussi : y=0; done, l'équation y = 0, ayant lieu pour tous les points de l'axe des x, représente l'axe des x lui-même. De sorte que, pour l'origine, on a à la fois x=0 et y=0. L'équation d'un lieu ou d'une ligne est la relation constante qui existe entre les coordonnées d'un point quelconque de ce lieu ou de cette ligne.

(*) On désigne, pour abréger, par point (a, b), point (x', y'), les points dont les coordonnées sont x=a et y = b, x = x' et y = y'.

CHAPITRE III.

Théorie de la ligne droite.

116. L'équation la plus générale du premier degré à deux variables x, y, est de la forme :

A, B, C, étant des quantités quelconques, positives ou négatives.

Recherchons quel lieu ou quelle ligne cette équation peut représenter.

Supposons d'abord que C=0. Cette équation devient

alors

Si A et B sont de signes contraires, le quotient est positif; représentons-le par a, de sorte qu'on aura :

y =+ax.

Soient des axes coordonnés quelconques.

L'équation yax représente une droite qui passe par l'origine.

x, y étant les coordonnées d'un point quelconque, on voit, à l'inspection de cette équation, que le lieu qu'on cherche est tel, que le rapport de l'ordonnée d'un point quelconque à son abscisse reste constant, quel que soit le point que l'on considère. On a, en effet : =(.

Si l'on donne à la variable x une valeur quelconque, x = OP (fig. 40), par exemple, il en résultera pour l'ordonnée y une autre valeur déterminée MP; de sorte qu'il

Donnons à x une valeur plus grande, x=OP'; la valeur correspondante de y sera aussi plus grande. Soit M'P' cette valeur, nous aurons :

ce qui prouve que les deux triangles MPO, M'P'O sont semblables, et par conséquent équiangles, et que les points

O, M, M' sont situés sur une mème ligne droite OMM'. Les valeurs de y croissent avec celles de x.

=

La droite passe par l'origine, puisque l'équation fournit y=0 lorsqu'on y fait x 0. Ainsi, en faisant passer x par tous les états de grandeur possibles depuis O jusqu'à +, on obtient pour y une série de points consécutifs 0, M, M', M", etc., tous situés sur la même droite.

x

Faisons de même, dans l'équation y = ax, passer par tous les états de grandeur possibles, depuis x= x=0 jusqu'à

x=

∞. Donnons à x une valeur négative quelconque x=-OQ; l'ordonnée correspondante y sera aussi négative, puisque a est positif. Soit NQ cette valeur de y; de sorte qu'on a :

Ce qui prouve que les points O, N, N', etc..., sont situés sur la même droite ONN'. Les deux triangles MPO, NQO sont aussi semblables et équiangles, puisqu'ils ont un angle égal compris entre côtés proportionnels : la droite ONN' est donc le prolongement rectiligne de OMM'.

Lorsque a est positif, l'équation y=ax représente done une seule droite qui passe par l'origine et qui divise les deux angles opposés YOX, Y'OX' d'une manière quelconque, comme on va le voir.

Supposons en second lieu que a soit négatif; on aura:

Si l'on fait grandir x positivement, comme précédemment, depuis zéro jusqu'à l'infini positif, les valeurs de y croîtront aussi, mais seront toujours négatives; ce qui indique que les points de la droite qui se succèdent sans discontinuité sont situés dans l'angle Y'OX. Enfin, si x devient négatif, les valeurs de y seront positives, et les points de cette droite seront situés dans l'angle YOX', opposé à l'angle Y'OX. En donnant à x des valeurs déterminées, comme on l'a fait plus haut, on prouverait que les valeurs de y sont en ligne droite. L'équation y = =ax représente donc, dans tous les cas, une ligne droite qui passe par l'origine et par les angles opposés YOX, Y'OX', si a est positif; par les angles XOY' et YOX', si a est négatif.

Pour connaitre la nature de la constante arbitraire a que