pipède quelconque et les angles a, ß, y qu'elles font entre elles, chercher le volume V de ce parallelipipède et la diago

nale qui joint deux sommets opposés.

Si, du pied P de la perpendiculaire QP, on abaisse la perpendiculaire PI sur la droite MO et que l'on joigne I à Q, cette droite sera aussi perpendiculaire à MO et l'angle PIQ sera l'inclinaison des deux plans MON, MOQ.

Si, du sommet O comme centre et avec un rayon égal à l'unité, on décrit une sphère, celle-ci déterminera dans le trièdre un triangle sphérique dont les côtés seront les anglesa, ß, 7. Si nous désignons les angles de ce triangle sphérique par A, B, C, on aura pour le volume:

V = ab sin a × QI sin B: abc sin a sin y sin B,

=

et, en remplaçant sin B par sa valeur en fonction des trois côtés du triangle sphérique, on a :

106. Soit OFD la diagonale du parallélipipède et OE = d celle du parallelogramme MONE (fig. 33), il viendra :

D2 = c2 + d2 + 2cd cos QOE.

Il reste à trouver cos QOE, c'est-à-dire, cos AD.
On a dans le triangle CAD :

2cd cos AD = 2bc cos ẞ+2ac cos y ;

d'où D2 = a2 + b2 + c2 + 2ab cosa + 2ac cosy + 2bc cosß.

Si l'on change & et y en 180o.

carré de la diagonale MH

diagonales D", D" :

D'2 = a2 + b2 + c2

=

, 180°.

7, on aura le D' et aussi des deux autres

2ab cos a +2bc cos ẞ-2ac cos y,

D'2 a2 + b2 + c2 +

==

2bc cos ẞ2ac cos y, 2bc cos 3.

2ab cos a

En ajoutant, on obtient :

D2 + D'2 + D''2 + D'''2 :

=

4a2 + 462 + 4c2:

ce qui prouve que dans un parallelipipède quelconque la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des arêtes. Il est facile de le démontrer directement par la Géométrie.

107. PROBLÈME. Étant données les trois arêtes a, b, c qui aboutissent au même sommet d'une pyramide triangulaire quelconque, et les trois angles a, ß, y que font entre elles ces arètes, chercher le volume V de la pyramide. On aura, comme précédemment:

V

=abc Vsin s sin (s — a) sin (s — ß) sin (s — y).

108. PROBLÈME. Connaissant les six arètes d'une pyramide quelconque, déterminer le volume V de cette pyramide (fig. 34).

a, b, c étant les trois arêtes partant du sommet A, et %, B, y les angles que font entre elles ces arètes, on a :

V

γ

=

abc1-cos — cos2ßcos y + 2 cosa cos ẞ cos y.

Soient

BC= a', BS= b', CS= c'.

Le triangle ABC donne :

A

cos y =

b2 + c2.

2bc

-

C'2

En remplaçant ces valeurs dans l'ex

pression précédente et en posant pour abréger

a2 + b2 — a'2 — C, a2 + c2 - b' B, b2 + c2 — c22 — A,

=

il vient :

V=

1

·V 4a2 b2 c2 — A2 a2 — B2 b2 — C2 c2 + ABC. 12

Si l'on représente par la surface des quatre triangles qui forment la surface totale de la pyramide, et par r le rayon de la sphère inscrite, on aura: r= Σ

3V

SECONDE PARTIE.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

CHAPITRE I.

Homogénéité.

109. Une fonction f(x, y, z,...)=0 est homogène par rapport aux quantités x, y, z,..., lorsque, en remplaçant x, y, z,... par px, py, pz,..., on obtient

ƒ (px, py, pz...) = p′′f (x, y, z...) = 0,

m étant le degré de la fonction.

Toute relation entre des grandeurs géométriques ou trigonométriques doit être homogène, c'est-à-dire que tous ses termes doivent être du mème degré.

Soient A, B, C,..., des lignes d'une certaine figure, et soit f(A, B, C,...) = 0 la relation géométrique ou trigonométrique qui existe entre ces quantités. Cette relation doit évidemment subsister, quelle que soit l'unité de mesure. Supposons qu'en adoptant l'unité linéaire u pour mesure des quantités A, B, C,..., on ait la relation

f(a, b, c,..) = 0,

et qu'en prenant une autre unité de mesure u', on obtienne f(a', b', c',...) 0.

= =