K. WEIHRAUCH.

Die Anzahl der Lösungen diophanti

scher Gleichungen bei theilfremden Coefficienten.

Schlömilch Z. XX. 97-111.

K. WEIHRAUCH. Ueber die Ausdrücke fn (m) und die Umgestaltungen der Formel für die Lösungsanzahlen; Anwendung der Formel in der Combinationslehre.

Schlömilch Z. XX. 112-117.

K. WEIHRAUCH.

Anzahl der Auflösungen einer unbestimmten Gleichung für einen speciellen Fall von nicht theilfremden Coefficienten. Schlömilch Z. XX. 314-316.

Die Frage nach der Anzahl der ganzzahligen Lösungen einer unbestimmten Gleichung vom ersten Grade mit n Unbekannten ist in ihrer Allgemeinheit noch ungelöst. Der Herr Verfasser unternimmt in der ersten Abhandlung den Versuch, diese Aufgabe für Gleichungen mit positiven ganzzahligen Coefficienten, welche unter sich keinen gemeinschaftlichen Theiler haben, zu erledigen. Es ist ihm nicht gelungen, die Anzahl der Lösungen lediglich als eine Function der Constanten der Gleichung darzustellen. Sein Erfolg besteht darin, dass er die Anzahl der Lösungen einer Gleichung

in welcher das absolute Glied A>P ist, wobei unter P das Produkt der n Coefficienten verstanden wird, zurückgeführt hat auf die Anzahl der Lösungen der Gleichung

k-n

Σακκ = Μ,

k=1

in welcher m<P und zwar m = A mod. P ist. Bezeichnet man mit fn(A) und fn(m) die Anzahl der Lösungen für beide Gleichungen, so ist f(4) = f(m)+M, und M ist ein mit der steigenden Anzahl der Unbekannten immer complicirter werdender Ausdruck, welcher aus symmetrischen Functionen der Coefficienten, aus dem absoluten Gliede und zahlentheoretischen Functionen des letzteren zusammengesetzt ist. Das allgemeine Bildungsgesetz dieses Theiles M ist durch Induction aus der Form

desselben für 2, 3, 4, 5, 6 Unbekannte abgeleitet, welche Fälle der Reihe nach besonders behandelt sind. Bemerkenswerth ist noch folgendes Resultat. Während die Bestimmung von fn(m) für ein gegebenes m, m<P, so erhebliche Schwierigkeiten darbietet, dass sie nach des Herrn Verfassers Ansicht kaum zu ermöglichen erscheint, ist dagegen die Summe der Lösungsanzahlen

m=P

für alle m unter P, also Σ fn(m) durch die Constanten der Gleichung berechenbar.

m=1

Für die Gleichung mit 2 Unbekannten

A, ist f(4) = p+f(m), wobei m A mod. P,

Α

=

A

P = a, a,, und p = E, die in dem Bruche enthaltene

grösste ganze Zahl, bedeutet.

Ferner ist für S1 = a,+ a1

m=P

P

m=1

2

2

Diese Ergebnisse lassen sich graphisch veranschaulichen. Zertheilt man den ersten Quadranten durch 2 Schaaren von Linien, welche in den ganzzahligen Abständen 1, 2, 3... zu den rechtwinkligen Axen parallel gezogen werden, in Quadrate, so stellen die Coordinaten aller Quadratecken, durch welche die Linie a1x1+α2x2 = A hindurchgeht, die Lösungen der Gleichung vor. Die Gerade a, x1 + α2 x12 = α, α12 = P geht durch keine Quadratx ̧ 1⁄2 a, ecke hindurch. Jedoch bildet sie mit den Axen ein rechtwinkliges Dreieck, in welches jede der ihr parallelen Linien a1x1 + a2x2 = m vollständig hineinfällt. Da diese Geraden höchstens je eine Quadratecke treffen können, so ist die Anzahl der Ecken, welche nicht auf den Axen selbst liegen

Für die Gleichung α, x, +a, x2+a,x,= A ist

Auf die Wiedergabe der allgemeinen Formel für n Unbekannte verzichten wir.

Die zweite Abhandlung beschäftigt sich zunächst mit der Herleitung des allgemeinen Bildungsgesetzes für die Summenformel

m=P

Σ fm (m)

m=1

und verwendet dieselbe zu einer Umgestaltung der Formel für die Lösungsanzahlen.

In der dritten Abhandlung dehnt der Herr Verfasser seine. Untersuchungen auch auf eine specielle Gruppe von Gleichungen mit nicht theilerfremden Coefficienten aus. Es sollen nämlich immer für je (n-1) Coefficienten gemeinsame Theiler vorhanden sein, aber ausser diesen dürfen weder für n-2 noch für eine kleinere Anzahl von Coefficienten gemeinschaftliche Factoren existiren. Die allgemeinste Gleichung mit 3 Unbekannten gehört unter diesen Fall. Durch eine lineare Substitution

worin by den gemeinsamen Factor der übrigen (n-1) Coefficienten, wenn man den zu x gehörigen fortlässt, bedeutet und h durch eine bestimmte Congruenz mod. by definirt wird, gelingt es die ursprüngliche Gleichung in eine andere mit eben so vielen Lösungen und mit den Unbekannten y zu verwandeln, deren Coefficienten unter einander nun keine gemeinschaftlichen Theiler mehr besitzen. Schl.

S. BILLS. A new method of solving in integers the equation x2- Ay2 = 1; with application to questions 4520, 4535. Educ. Times XXIII. 98-99.

Die Methode beruht darauf, drei Reihen von Zahlen M, N, P herzuleiten, die durch die Recursionsformeln

M2+1 = N2P2- M2, Nn+1 = (A— M2): Nn, P2+1 = (S+ Mn+1): N2+1

S. BILLS, A. MARTIN, G. HART and A. B. EVANS. Solution of a question (4562). Educ. Times XXIII. 109-110,

XXIV. 109-111.

2

Ist R eine ganze Zahl, die Ax2+1 zu einem Quadrat macht, und die kleinste ganze Zahl, die Ax2-1 zu einem Quadrat macht, so ist R ein Vielfaches von r.

0.

S. TEBAY.

XXIII. 30.

η

Solution of a question (4535). Educ. Times

Damit ntk Quadrate seien, muss sein

a+žn ̄1(n” +n−") {an1(n”—n ̄”)—m(n" +n ̄”)},

wo n = p+qn3, p und q die kleinsten Lösungen der Gleichung x2 — ny' = 1, a endlich irgend ein specieller Werth von t ist.

0.

H. HART.

XXIII. 107.

Solution of a question (4520). Educ. Times

Lösung der Gleichung x2-953y'

=

1 in ganzen Zahlen.

0.

A. MARTIN and H. HART. Solution of a question (3156).

Educ. Times XXIV. 39-46.

Bestimmung einer positiven ganzen Zahl x, welche

94x+57x+34

zu einem Quadrat macht.

0.

A. MARTIN. Correction of an error in Barlow's theory of numbers. Analyst II. 140-142.

Die kleinsten Werthe, welche der Gleichung

x = 1284836351, y = 17081120,

und nicht die in Barlow's Theory of numbers p. 299 angegebenen. Glr. (0.)

J. NEUBERG. Questions d'analyse indéterminée. N. c. M.

I. 169-175.

Zu verschiedenen elementaren, in den Nouv. Ann. (1874 S. 111, 296, 289, 340) gestellten Aufgaben werden hier einfache Lösungen gegeben. Mn. (Wn.)

P. BACHMANN. Arithmetische Kleinigkeiten. Schlömilch Z.

XX. 159-163.

1) Der Gleichung x'y' = genügen bekanntlich alle ganzzahligen Werthe

2

x = m2-n2, y = 2mn, z = m2 + n2.

Fügt man die Bedingung x-y= 1, z>0 hinzu, so findet man alle ganzzahligen Werthe, indem man in der Gleichung x+y+z√2 = (√/2±1) (3+2√2)2*

für alle ganzzahligen Werthe desk das Rationale vom Irrationalen trennt und mit der Gleichung x-y= 1 verbindet;

x—y

2) Beweis des in Question 1135 (siehe p. 84) angegebenen Satzes.

0.

PEPIN. Note sur une question (206). Nouv. Ann. (2) XIV. 63-65. Extrait d'une lettre de Mr. Genocchi. Nouv. Ann. (2) XIV. 178-179.

Es handelt sich um die rationale Lösung der Gleichungen x2+ y2-1 = x2, x2+y'-1 = u'.

Fortschr. d. Math. VII. 1.

0.

7