bezeichnet die beiden Gleichungen x1 = ax + by, y1 = cx+dy. Glr. (O.) J. J. SYLVESTER. Solution of a question (3067). und Times XXIV. 78. Wenn a3 + b3+c3 = (b+c)(c+a)(a+b) (b3 + c3 — a2) x = (c2 + a' — b')y = (a2+b2 — c3) %, 80 ist auch x3 + y3+z3 = (y + z)(z+x)(x+y). 0. Educ. J. WOLSTENHOLME, R. F. DAVIS, C. Leudesdorff, J. HAMMOND, E. RUTTER and others. Solution of a question (4778). Educ. Times XXIV. 94-95. so ist Wenn (x2 + y2 — a2)' = 4a'{(a — x)'+y'}, -- {(a− x)'+y'}' = {(a− x)3 + (3a—x)y'}'. _O. Capitel 3. Elimination und Substitution, symmetrische Functionen. L. SALTEL. Application du principe de correspondance analytique à la démonstration du théorème de Bezout. C. R. LXXXI. 884-887. Mit Hülfe des in der Ueberschrift genannten Principes und des Schlusses von n 1 auf n wird die von Bezout gegebene Zahl der gemeinsamen Wurzeln von n algebraischen Gleichungen mit n Unbekannten hergeleitet. Lth. G. FOURET. Détermination du nombre exact des solutions d'un système de n équations algébriques à n in connues. Bull. S. M. F. II. 127-139. Ueber den Inhalt dieser Arbeit ist gelegentlich einer Mittheilung in den C. R. berichtet worden (F. d. M. VI. 79). S. ROBERTS. No. On a simplified method of obtaining the order of algebraical conditions. Proc. L. M. S. VI. 101-113. Wenn in den beiden Gleichungen: ... ... = 0 die Coefficienten a, b, a', b',... ganze homogene Functionen von vier Variabeln sind, so stellt das Resultat der Elimination des Parameters t die Gleichung einer algebraischen Fläche dar. Den Grad der Doppelcurve derselben bestimmt man, indem man die Bedingung dafür aufstellt, dass die obigen beiden Gleichungen zwei gemeinsame Wurzeln besitzen. Diese Zahl wird eine Function von m sein. Nennen wir sie Nm, so ermittelt sie der Verfasser in der Weise, dass er zunächst den Werth der Differenz Nm+1-Nm = 4Nm bestimmt, indem er UX an Stelle von U setzt, wo X eine beliebige in lineare Function ist, und die Veränderung aufstellt, welche hierdurch Um erfährt. Durch Integration der Differenz Um erhält man dann die gesuchte Zahl Um bis auf Glieder, die von m nicht mehr abhängen, und die theils durch die Forderung der Symmetrie in Bezug auf m und m', theils durch Betrachtung specieller Fälle erhalten werden. Man ermittelt ferner das Vorkommen von dreifachen oder Rückkehrpunkten der Doppelcurve, indem man in ähnlicher Weise wie oben die Anzahl der Fälle bestimmt, wo die beiden Gleichungen drei Wurzeln oder Doppelwurzeln gemeinsam haben. Anknüpfend an eine von Salmon in dessen Raumgeometrie behandelte Aufgabe betrachtet zum Schluss der Verfasser die „Enveloppe" einer Fläche, deren Gleichung in vier homogenen Va riabeln als von drei homogenen Parametern abhängig angenommen wird, und bestimmt die Charactere derselben. Bl. V. H. O. MADSEN. En Bemaerkning om Sylvester's dialytiske Eliminationsmethode. Zeuthen Tidsskr. (3) V. 144-145. Beweis, dass Sylvester's Verfahren die wirkliche Resultante zweier Gleichungen giebt. Gm. L. SALTEL. Considérations générales sur la détermination sans calcul de l'ordre d'un lieu géométrique. Mém. de Belg. in 8°. XXIV. F. FOLIE. Rapport sur ce mémoire. Bull. de Belg. (2) XXXVIII. 13-17. XXXIX. 15. Siehe Abschn. IX. Cap. 3. A. F. KATTER. Ueber die Resultante zweier Gleichungen. nten Grades. Pr. Putbus. Definition, Grad und Berechnungsmethoden der Resultanten werden angegeben und durch Beispiele erläutert. No. G. HALPHEN. Sur une question d'élimination ou sur l'intersection de deux courbes en un point singulier. Bull. S. M. F. III. 76. Der Verfasser stellt sich die Aufgabe zu bestimmen, wie viele gemeinsame Punkte von zwei Curven im Punkte x 0, x = 0 vereinigt sind. Diese Anzahl ist gleich dem Producte aus den Graden der Vielfachheit, welche der fragliche Punkt in beiden Curven besitzt, plus einer Reihe von Zahlen, von welchen jede sich auf eine der beiden Curven gemeinsamen Tangenten des Punktes bezieht und welche, wie Halphén schon früher gezeigt hatte (Bull. Bd. I. p. 133), gleich ist der Summe der Ordnungen der Berührungen der Zweige der einen Curve mit den Zweigen der andern. Es handelt sich darum diese Zahlen zu berechnen Gesetzt, die gemeinsame Tangente der fraglichen Zweige sei die y-Axe, so seien die Gleichungen der Curven von der Form 0 = x22 (p—m) +xTM (p—m, +a1) + ··· - 0 = xμo (π — μ2) + xμ1 (x —μ1 + α1) + ··· Hierbei bezeichnen a,1, a,... ebenso wie a,1, a,... wachsende ganze Zahlen, m., m,... μ., μ,... ebenfalls ganze Zahlen, von welchen jedoch ein m und ein u gleich Null sind, und endlich (p) eine homogene Function ersten Grades von x und y. Diese Polynome werden dabei als allgemeine vorausgesetzt. In diesem Falle nennt Halphén die fragliche Zahl den ersten Schnittzuwachs der beiden Zweige. Durch eine geometrische Betrachtung, die sich auf eine Verallgemeinernng des Newton'schen Parallelogramms stützt, aber sich nicht gut auszugsweise wiedergeben lässt, findet Halphén die folgende Regel zur Bestimmung des Schnittzuwachses: m-mi In der ersten Gleichung betrachten wir die Zahlen Sei L die kleinste von ihnen und n der grösste Index, für wel an L ist. Dann bilden wir die Zahlen ai an mn-mi für chen die Werthe von i, die n überschreiten. Es sei n' der grösste Werth von i, welcher den Minimalwerth L' dieser Zahlen liefert. Dann bilden wir ai an' mn' -mi für in' und es sei L" der kleinste Werth u. s. W. So erhalten wir eine Reihe L, L', L"... von wachsenden Zahlen. In Bezug auf die zweite Gleichung bilde man ebenso die Zahlen ▲, A', A",··· ... Man ordne alle Zahlen L und nach ihrer Grösse, mit der kleinsten beginnend, so entsteht eine Reihe, die abwechselnd aus Gruppen von Zahlen L und Zahlen besteht. Von jeder dieser Gruppen, die erste ausgenommen, nehme man die erste Zahl und von den beiden Paaren von Zahlen m, a, resp. μ, a, die in ihrem Ausdrucke vorkommen, diejenige, welche den kleinsten Index hat. So hat man eine Reihe von Zahlenpaaren Zu diesen fügt man hinzu das Paar mit (M。, A。), (M,, A,). grösstem Index, welches in der letzten Zahl der vorletzten Gruppe auftritt. Die Summe erste Schnittzuwachs. (M; Ai+1-Mi+1A) ist dann der gesuchte Von dieser Regel wird eine Anwendung gemacht, um die Erniedrigung der Klasse zu bestimmen, die durch einen vielfachen Punkt einer Curve bedingt ist. Ist p die Ordnung der Vielfachheit, so ist diese Erniedrigung gleich p(p-1)+ einer Summe von Gliedern, von welchen jede mehreren Zweigen gemeinsame Tangente eines liefert. Das Glied derjenigen Zweige, welche die y-Axe berühren, wird gefunden, wenn man wieder Paare M, A¡ bildet und zwar indem man dafür grade die Zahlen m, a nimmt, die in den Zahlen L auftreten und damit die Summe -an(A,+1M,A,M,+1) bildet, in der a, die letzte der Zahlen a ist. Im letzten Theile der Abhandlung endlich ist gezeigt, wie man sich in den Fällen, in welchen der Hauptsatz, der angeführt wurde, Ausnahmen erleidet, durch wiederholte Transformationen helfen kann. Lth. C. JORDAN. Sur une application de la théorie des substitutions à l'étude des équations différentielles linéaires. Bull. S. M. F. II. 100. Das in der Abhandlung durchgeführte Problem ist bereits (F. d. M. VI. 204) angegeben. Der Herr Verfasser zeigt zuerst an den Resultaten der Herren Fuchs und Frobenius die Anwendbarkeit der Substitutionstheorie auf lineare Differenzialgleichungen und geht dann zu dem Problem über: Es sollen alle Scharen von Functionen X, Y, Z... bestimmt werden, welche durch die Substitutionen der gegebenen Gruppe G in lineare Functionen der X, Y, Z....... übergeführt werden. Die Untersuchung nimmt den Weg, dass die eine der Substitutionen A auf ihre Normalform (vgl. Jordan, Traité des substitutions etc. L. II. C. 2) gebracht wird. Dadurch zerfallen die Variabeln der Substitution in einzelne Klassen, die Functionen selbst treten in einfacher Form auf, und es ist eine Reduction auf dasselbe Problem mit weniger Veränderlichen möglich. No. ... |