siehe F. d. M. VI. p. 280) gezeigt, wie man die Curve f = 0 in eine andere dritter Ordnung leicht so transformiren kann, dass jedem Punkte der ersten ein Punkt der neuen, diesem aber drei Punkte der erstern Curve entsprechen, und dass diese Transformation identisch ist mit der Transformation 3ter Ordnung der elliptischen Functionen, welche zu f = 0 (oder √(3)) gehören. Sei die Gleichung für f

so ist die Transformation (w eine imaginäre dritte Einheitswurzel): y1 = w2x2+wx; +x;

H. Brioschi knüpft an diese Arbeit an, um dieselbe durch eine typische Darstellung der biquadratischen Form (3) in das Licht zu setzen. Es werden zunächst die wichtigsten Covarianten der ternären Form f, die vom 3len, 6ten, 9ten Grade, unter der Bedingung f = 0 durch die Grösse ausgedrückt (welches der Parameter des Strahlbüschels ist, dessen Scheitel in einem Wendepunkte von f = 0 ist). Dabei wird auch die Gleichung 9ten Grades für die Dreitheilung der zu (3) gehörigen elliptischen √4() Functionen aufgestellt, als das Integral der Differentialgleichung 3√9(2) dz+√9(z) dλ

0,

H und K die Covarianten 3ten und

Glen Grades von f bedeuten.

Sodann werden aus der transformirten Curve

f' = y; + y2+y+6my, y2 y ̧

0

die Coordinaten ähnlich durch einen Parameter v und die Wurzel aus einer biquadratischen Form (v) ausgedrückt, und für die Differentialgleichung der Transformation

die Integralgleichung sowohl zwischen und v, als zwischen v und aufgestellt.

Nr.

LAGUERRE. Sur l'application de la théorie des formes binaires à la géométrie des courbes tracées sur une surface du second ordre. Bull. S. M. F. I. 37.

Siehe Abschn. IX. Cap. 3. B.

J. ROSANES. Ueber die Transformation einer quadratischen Form in sich selbst. Borchardt J. LXXX. 52-72.

Im Band XLVII. des Crelle - Borchardt'schen Journals hat Herr Hermite die Transformationscoefficienten, welche geeignet sind, eine quadratische Form dreier Veränderlichen in sich selbst überzuführen, aus den Coefficienten derselben und drei willkürlichen Grössen hergestellt. Herr Cayley hat im L. Bande die allgemeinen Formeln bei n Veränderlichen gegeben. Bei diesen Untersuchungen hatte es sich gezeigt, dass gewisse lineare Formen bei jenen Transformationen in sich selbst übergehen und ferner, dass die Determinante der Substitution zu einer reciproken Gleichung führt. Von der ersten dieser Thatsachen geht Herr Rosanes aus; er betrachtet das System

(1) Σαπκ = εΣ a*Xx, (κ, λ = 1 ...n), € = 1

und zeigt, dass die zu diesem „asymmetrischen Systeme“ gehörige Fundamentalgleichung"

reciprok ist. Umgekehrt nun, und das ist das Hauptresultat der Arbeit, gehört zu jeder reciproken Gleichung P(g) = 0 ein System von der Form (1). Aus einfacher Combination der Gleichungen (1) folgt, dass

Σααχα = ΣαΧ Χ

ist; die Transformation ist also eine „, Hermite'sche", und jede solche kann umgekehrt in die Form (1) gebracht werden; sie ist also dadurch charakteristisch bestimmt, dass ihre Fundamentalgleichung reciprok ist. Am Schlusse der Arbeit wird gezeigt, wie man von einer quadratischen Form, die von einer gewissen Hermite'schen Transformation in sich selbst übergeführt wird, zu anderen derselben Eigenschaft gelangen kann.

Den Anfang der Abhandlung bildet eine Untersuchung der allgemeineren Transformation

welche zu folgendem Resultate führt: Bezeichnen a, by zwei Systeme von je n' Grössen (2, μ = 1... n), dann liefert die Elimination der Grössen Pip(PP) aus dem System

μ

Συνομριμ, (κ,λ,μ = 1,... n)

στα αγριμ =
λ,μ
λ,μ

eine Gleichung in o, deren Wurzeln or, sich durch n Grössen e1, e, en derart darstellen lassen, dass

...

Ors = Gr'Qs (r, s = 1... n)

ist. Eine quadratische Form, deren Coefficienten irgend eine Lösung jenes Systems sind, hat die Eigenschaft, in zwei LinearFactoren zu zerfallen.

No.

H. LEMONNIER. Sur la transformation des équations du second degré à deux et à trois variables. Nouv. Ann. (2)

XIV. 396-424.

Die Abhandlung beschäftigt sich mit der Transformation der quadratischen Form

ε, u2 + ε, u2 + ... + &n Un, (εi = ±1)

in sich selbst, wenn anstatt der u, die Veränderlichen v

Q;v; = m1,1u, +m12 u2+ •••+M¡,nun, (i = 1, 2.....n)

Der Herr Verfasser gelangt zu dem Beweise dieses Satzes auf geometrischem Wege, indem er die Fälle n = 2 und n = 3 durch die Transformation einer Curve 2ter Ordnung auf ein System conjugirter Durchmesser und einer Fläche 2ter Ordnung auf ein Sy

Fortschr. d. Math. VII. 1.

5

stem conjugirter Diametralebenen interpretirt. Man inducirt so die auch leicht unmittelbar folgenden Relationen

und verificirt mit Hülfe derselben die Gleichungen (I.), worin für e der oben erwähnte Werth zu setzen ist. Aus diesen Gleichungen folgen umgekehrt wieder die Relationen (II.).

Nothwendig ist hierbei die Voraussetzung, dass die Determinante der Grössen mix nicht verschwinde.

St.

H. LEMONNIER. Mémoire sur la transformation des formes quadratiques. Bull. S. M. F. III. 48-76.

Ohne Bezugnahme auf die in letzter Zeit angestellten allgemeinen Untersuchungen über quadratische Formen, leitet der Herr Verfasser unter beschränkenden Voraussetzungen die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen zwischen den Coefficienten für die lineare Transformation von

ina,v, ferner für die von u+u;+u} und μ‚μ‚ +u ̧u ̧+u ̧u,

In einer seiner letzten Arbeiten hat Clebsch unter dem Namen „Connex“ ein neues Grundgebilde in die analytische Geometrie der Ebene eingeführt. Er definirt dasselbe analytisch durch eine Gleichung zwischen Linien- und Punktcoordinaten (u und x), und nennt Hauptcoincidenz des Connexes den Inbegriff sämmtlicher Curven, deren Punkte die Eigenschaft haben, dass ihre Coordinaten und je die Coordinaten der entsprechenden Tangente die Connexgleichung erfüllen. Man bildet die Differentialgleichung, welche diese Bedingung ausdrückt, indem man

Einem jeden Connex entspricht somit eine Differentialgleichung 1ter Ordnung, deren Integral aus der Theorie der Connexe eine geometrisch anschauliche Bedeutung erhält.

Die Theorie der ternären Formen bietet in den sogenannten Zwischenformen eine Fülle von Material zum Studium der Connexe. Der Verfasser beschäftigt sich mit zwei Zwischenformen der ternären Formen 3ten Grades, deren eine insbesondere zu der Differentialgleichung Veranlassung giebt:

(ab u)2 (cau) (cu du)' (bu du) = 0.

Das Integral derselben ist die Enveloppe der Sehnen, welche man erhält, wenn man den Punkten der Grundcurve 3ter Ordnung die Werthe eines elliptischen Integrals zuordnet und je zwei solche Punkte mit einander verbindet, deren Integralwerth eine constante Differenz besitzt. Die Gleichung des Systems der Integralcurven wird von dem Verfasser mittelst symbolischer Rechnung aufgestellt. Bl.

A. CAYLEY. On the extraction of the square root of a matrice of the third order. Proc. of Edinb. VII. 675-682. 1874.

Professor Tait hat kürzlich die Frage nach der Bestimmung einer Quadratwurzel aus einer Deformation (strain) behandelt. Herr Cayley bemerkt, dass dieselbe auf die Bestimmung der Quadratwurzel einer Matrice 3ter Ordnung

(a, b, c)

d, e, f
g, h, i

hinausläuft, die er in seinem „Memoir on the theory of matrices" (Phil. Trans. 1858, 17-37) gegeben. Er bringt hier die Lösung. Der Begriff einer Matrice wird aus dem einfachsten Fall der zweiten Ordnung klar.