Aufstellung der simultanen Covariante 4(n-4)ten Grades, deren Verschwinden nothwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass zwei binäre Formen n'en Grades (n>3) Polaren einer Form (n+1)ten Grades sind. Nr.

S. GUNDELFINGER. Ueber das simultane System von drei ternären quadratischen Formen. Borchardt J. LXXX. 73-85.

In Bd. 57 des Borchardt'schen Journals hat Hermite die typische Darstellung dreier ternären quadratischen Formen 9,, 921 3 als Differentialquotienten einer cubischen ternären Form ƒ gegeben, welche zu Coefficienten nur Invarianten des Systems der o hat. Diese Darstellung wird hier ausgeführt: es wird für f die Form gegeben

f = 12(d)+4td,

ist, die x selbst die neuen Variabeln sind, nach denen die Differentialquotienten zu nehmen sind und die sich aus linearen Contravarianten der q leicht ergeben, wo ferner A(d) die Hesse'sche Form der in den x cubischen Form d, teine CombinantInvariante der g ist.

Hiernach drücken sich dann alle Invarianten des simultanen Systems rational durch die 11 Invarianten aus, die nun in f vorhanden sind, die Combinant-Invarianten sogar durch zwei solche. Zum Schluss werden einige Anwendungen auf das Flächennetz zweiter Ordnung gegeben, insbesondere die Darstellung der Gleichung der 8 Schnittpunkte. Ueber einige dabei auftretende Flächen findet sich Weiteres in Salmon-Fiedler's „Anal. Geom. des Raumes", I. 285 ff. gegeben.

Nr.

C. JORDAN. Recherches sur les covariants. C. R. LXXX. 875-877.

C. JORDAN.

1160-1161.

Théorème sur les covariants. C. R. LXXX.

Das endliche System von Grundformen, das sich aus den Ueberlegungen H. Gordan's für eine binäre Form ergiebt, ent

hält im Allgemeinen noch viele überflüssige Formen. H. Jordan will sich die Aufgabe stellen, dieses System möglichst zu reduciren. Er giebt in der ersten Note (ohne Beweis) ein Theorem über die von Gordan als Formen W bezeichneten Covarianten, nämlich eine obere Grenze für deren Ordnung in den Coefficienten, in der zweiten Note für irgend eine Covariante eine obere Grenze für deren Grad in den Variabeln. Die ebenda angegebene obere Grenze für die Ordnung in den Coefficienten ist in der Note nicht recht verständlich, da für die vorkommenden ansteigenden Zahlen P, P-1,... selbst keine obere Grenze angegeben ist.

Nr.

C. JORDAN. Théorème sur la composition des covariants.

C. R. LXXXI. 495-498.

Um aus den beiden endlichen Formensystemen von zwei binären Formen das simultane System dieser zwei Formen abzuleiten, hat H. Gordan die beizubehaltenden Ueberschiebungen durch die kleinsten Lösungen zweier diophantischer Gleichungen definirt (vgl. das obige Referat über Gordan's Programmschrift pag. 50). H. Jordan leitet hier aus diesen selben Gleichungen noch weitere Grenzen für die beizubehaltenden Ueberschiebungen ab.

Nr.

A. CLEBSCH. Sulla teoria delle forme binarie del sesto ordine e la trisezione delle funzione iperellittiche.

Brioschi Ann. (2) VII. 89-122.

F. BRIOSCHI. Traduzione con note ed aggiunte. Brioschi Ann. (2) VII. 123-148.

Eine Uebersetzung der Arbeit Clebsch's, welche 1869 in den Abhandlungen der Gött. Ges. d. W., Bd. XIV. (siehe F. d. M. II. p. 66) erschienen ist. Wir schicken eine kurze Inhaltsangabe der Arbeit Clebsch's voraus, indem wir auf das ausführlichere Referat in Bd. II. p. 66 der F. d. M. verweisen.

Es handelt sich um das, ursprünglich von Cayley (Quart. J. IX. bei der Frage nach den Curven 3ter Ordnung mit gegebenen

6 Geraden eines Büschels als Tangenten) aufgestellte Problem: eine binäre Form 6ter Ordnung f in die Form

f=u2 - v2

zu transformiren, wenn u eine quadratische, v eine cubische Form vorstellt.

Clebsch führt das Problem auf eine Gleichung 40ten Grades zurück, die selbst wieder auf eine Resolvente 27ten Grades und eine weitere Gleichung 5ten Grades führt. Von H. Jordan auf die Uebereinstimmung dieser Gleichung mit derjenigen aufmerksam gemacht, welche bei der Dreitheilung der hyperelliptischen Functionen auftritt, giebt Clebsch zunächst die Zurückführung beider Probleme auf einander. Nach diesem Einblick in die Gruppirung der Wurzeln der Gleichung wird nun der algebraische Zusammenhang zwischen einer Wurzel und allen übrigen untersucht. Es zeigt sich, dass die übrigen 39 Lösungen in zwei Klassen von 27 und 12 zerfallen, und beide Klassen haben zur Resolvente die Hesse'sche Gleichung 9ten Grades. Wir bemerken dabei die Art, wie sich hier diese Gleichung darbietet, nämlich bei der Lösung des binären Hülfsproblems: In dem Ausdruck

2v-3u+§3
ξ

die lineare Function so zu bestimmen, dass derselbe ein vollständiger Cubus wird. Das Characteristische bei der Behandlung dieses Problems ist der Umstand, dass Clebsch mit Hülfe der symbolischen Rechnung der Invariantentheorie alle auftretenden Resolventen in fertiger Gestalt wirklich bildet. Der zuletzt erwähnte Theil, das Hülfsproblem, findet sich auch in Clebsch's Buche über die binären Formen wiedergegeben.

H. Brioschi hat der Uebersetzung fünf Noten angefügt, die sich an die formentheoretischen Untersuchungen der Abhandlung, soweit sie das „Hülfsproblem" betreffen, anschliessen. Sie enthalten theils Zusammenstellungen der benutzten Formeln, theils auch selbständige Betrachtungen, wobei übrigens die Bezeichnungsweise von der in der Abhandlung selbst gebrauchten etwas abweicht.

Note 1 giebt eine Zusammenstellung von Formeln aus dem simultanen System der quadratischen Form u und der cubischen

Form v; insbesondere die typische Darstellung durch die linearen Covarianten

Note 2 leitet die Gleichung 9ten Grades des Hülfsproblems aus der Bedingung her, dass die Hesse'sche Form der binären Form

2v-3u+§3

identisch verschwinden muss. Nachdem weiter erwähnt ist, dass das Problem die Aufgabe löst, auf der Curve

F= x3—3ux, +2v = 0

die Wendepunkte zu bestimmen (indem man x1 = = §‚ׂ + § ̧¤ ̧ = § setzt), wird für diese ternäre Form F die Reciprokalgleichung, ausgedrückt in dem simultanen System von u und v, gegeben.

Note 3 giebt einige weitere Covarianten von F durch das System von u und v, liefert sodann nochmals die Gleichung 9ten Grades, ebenso deren Resolvente 4ten Grades, die Gleichung für die Wendepunktdreiseite; übrigens unter Voraussetzung einiger Formeln aus der Theorie der ternären cubischen Formen.

Note 4 giebt sodann die Zerlegung der Form oF +3H (H die Hesse'sche von F), unter der Bedingung der Existenz jener biquadratischen Gleichung für o, in drei lineare Factoren, ausgedrückt durch x1, p und q; ferner durch die hieraus folgenden Transformationsformeln auch die Ueberführung von F in die kanonische Form, wobei immer die Coefficienten durch das simultane System von u und v ausgedrückt werden.

Note 5 zeigt dann die Lösung der Gleichung 9ten Grades, vermittelst der Transformationen der Note 4 aus den bekannten Ausdrücken bei der kanonischen Form abgeleitet.

Nr.

F. BRIOSCHI. Sulle condizioni per la decomposizione di una forma cubica ternaria in tre fattori lineari. Brioschi Ann. (2) VII. 189-192.

Damit eine cubische ternäre Form F in drei lineare Factoren zerfalle, hat man identisch (FHu) = 0. H. Brioschi stellt sich nun die Aufgabe, die hierzu nothwendigen und hinreichenden drei

:

Bedingungen abzuleiten, was wieder, wie in den vorher erwähnten Noten (siehe p. 61) aus der Form

F = x;-3ux, +2v

geschieht. F muss mit seiner Hesse'schen Form H proportional werden. Hierdurch ergeben sich drei Relationen zwischen den simultanen Invarianten von u und v; oder man kann das Resultat auch als Bedingung für die drei Coefficienten von u so aussprechen: Sei

t = (vv)', C = (vv)'.

Der allgemeinste Ausdruck einer in 3 Factoren zerlegbaren cubischen ternären Form ist dann

Auch giebt der Verfasser die Zerlegung selbst mittelst der Covariante ∞ = (VT). Wir haben indessen zu bemerken, dass diese Resultate im Falle des identischen Verschwindens von H nicht in dieser Form gelten.

Nr.

F. BRIOSCHI. Sur la réduction d'une forme cubique ternaire à sa forme canonique. C. R. LXXXI. 590-591.

Giebt die Resultate, welche in der pag. 61 erwähnten Note 4 enthalten sind.

Nr.

F. BRIOSCHI. Sopra un nuovo punto di correlazione fra le forme binarie del quarto grado e le ternarie cubiche.

Brioschi Ann. (2) VII. 52-60.

Die engen Beziehungen, welche zwischen der Theorie der binären biquadratischen Formen q und derjenigen der ternären cubischen Form f bestehen, lassen sich insbesondere bei der Darstellung verwerthen, bei welcher man die Variabeln, welche f=0 genügen, ausdrückt als rationale Functionen eines Parameters ≈ und der Quadratwurzel aus der biquadratischen Form (). Erst neuerdings hat wieder H. Cayley („A geometr. illustr. of the cubic transformation in elliptic functions", Quart. J. t. XIII. p. 211,