Verfasser diese Reduction auf eine Anzahl von n+1 Körpern aus, die ihren gegenseitigen Anziehungen unterworfen sind. Die Ordnung 6n der Bewegungsgleichungen kann immer um sechs Einheiten erniedrigt werden, d. h. also um zwei Einheiten mehr, als die vier Integrale der Flächen und der lebendigen Kräfte ergeben. Im zweiten Theil werden dieselben Gleichungen mit einer andern partiellen Differentialgleichung mit 3n unabhäugigen Variabeln verbunden und dann zwei der Derivirten mit Hülfe von zwei Integralen eliminirt, welche in Gleichungen mit partiellen Derivirten transformirt sind und mit der ersten vereinbar sind. Das Problem wird so zurückgeführt auf die Integration eines Systems mit gewöhnlichen Derivirten von der Ordnung 6(n-1), und zwar ohne dass man dabei specieller Variabeln oder besonderer Coordinatenebenen bedarf. Integrale dieses letzten Systems werden dann im Verein mit dem vierten Integrale die characteristische Function bestimmen, mit deren Hülfe sich die Lösung endlich durch einfache Differentiation vollenden würde. Wendet man diese Methode auf das Problem der drei Körper an, so würde sie nur ein oder zwei Integrale eines canonischen Systems sechster Ordnung erfordern. Im dritten Theil werden successive zwei und drei Constanten der Flächenintegrale zu Null gemacht und gezeigt, dass diese Gleichungen mit der Fundamentalgleichung vereinbar sind und eine singuläre Lösung mit drei willkürlichen Constanten zulassen, welche aus der Integration eines Differentialsystems der vierten Ordnung hergeleitet werden kann. 0.

W. VELTMANN. Bewegung in Kegelschnitten von mehr als zwei Körpern, welche sich nach dem Newton'schen Gesetz anziehen. Astr. Nachr. LXXXVI. 17-30.

Der Aufsatz behandelt den einfachsten Fall von Particularlösungen des Vielkörperproblems, den nämlich, dass sich sämmtliche Massen in ähnlichen Kegelschnitten mit einem gemeinsamen Brennpunkt bewegen. Wenn die Apsidenlinien sämmtlicher Kegelschnitte in eine einzige Gerade zusammenfallen, so zeigt sich

dass für eine grade Anzahl von Körpern die anfänglichen Distanzen oder was auf dasselbe hinauskommt, die Halbaxen aller Kegelschnitte willkürlich gewählt werden können und dass dann die Massen im Allgemeinen vollständig und unzweideutig bestimmt sind, da sie einem System von linearen Gleichungen genügen müssen, deren Determinante im Allgemeinen nicht verschwindet. Für eine ungrade Anzahl verschwindet jene Determinante identisch. Daraus folgt jedoch nicht, wie der Verfasser schliesst, dass die geforderte Bewegung überhaupt unmöglich ist, sondern nur, dass die ursprünglichen Abstände der Körper von einander und die Massen nicht willkürlich sind, sondern einer gewissen Bedingung gentigen müssen; für drei Körper ist die betreffende Lösung bereits längst bekannt. Wenn die Apsidenlinien nicht zusammenfallen, so ergiebt sich für drei Körper die ebenfalls bekannte Bedingung, dass das von diesen gebildete Dreieck ein gleichseitiges sein muss. Die Massen und die Excentricität der Kegelschnitte können dann beliebig gewählt werden. Für mehr als drei Körper ist die Lösung der Aufgabe nur angedeutet. Der von dem Verfasser gemachte Schluss, dass für eine grade Anzahl von Körpern eine derartige Bewegung nicht möglich sei, beruht auf demselben Versehen, wie die oben berichtigte Behauptung. B.

E. KÄRGER.

k

Untersuchung der Bahn eines Punktes, welcher mit der Kraft angezogen oder abgestossen wird, wobei k eine Constante und r die Entfernung vom Kraftcentrum bedeutet. Grunert Arch. LVIII. 255-277.

Der Verfasser stellt zunächst die Bewegungsgleichungen des Problems auf und discutirt dann die verschiedenen Fälle der Bewegung, die sich für negative, positive k und den Werth k = 0 ergeben, wobei er sich an Schellbach's Lehre von den elliptischen Integralen und Thetafunctionen anlehnt. Betreffs der Resultate für die verschiedenen k müssen wir auf die Arbeit selbst ver

weisen, da sich dieselben nicht gut in Kürze ohne Zuhülfenahme vieler Formeln wiedergeben lassen.

0.

E. J. ROUTH. On Laplace's three particles, whith a supplement on the stability of steady motion. Proc.

L. M. S. VI. 86-97.

Laplace hat gezeigt, dass wenn drei Partikelchen auf den Ecken eines gleichseitigen Dreicks liegen und gehörig gestossen werden, sie sich unter Wirkung ihrer gegenseitigen Anziehung immer so bewegen, dass sie auf den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bleiben. Er hat auch gezeigt, dass, wenn sie ursprünglich in einer Geraden liegen, sie immer in derselben Geraden bleiben. Liouville hat dann nachgewiesen, dass eine solche Bewegung eine unstabile sei. Der Verfasser hat in der vorliegenden Arbeit dies Problem von Neuem aufgenommen, unter der Voraussetzung, dass die Anziehung umgekehrt proportional der kten Potenz der Entfernung erfolge und hat er namentlich die Abhängigkeit der Stabilität von der Grösse von k auseinander gesetzt.

0.

J. R. VAŇANS. Ueber die Wurf bewegung. Casopis IV. (Böhmisch.)

W.

L. NATANI.

Winckelmann.

Methode der kleinsten Quadrate. Berlin.

Als Anhang dieser, wegen ihres sonstigen Inhalts schon p. 110 dieses Bandes besprochenen Schrift findet sich eine Behandlung der ballistischen Linie. In derselben werden zunächst allgemein die Gleichungen aufgestellt, welche die Flugbahn bestimmen. Speciell wird dann der Fall besprochen, wo der Luftwiderstand einer Potenz der Geschwindigkeit proportional ist.

ALLEGRET. Sur la courbe balistique. Bull. S. M. F. I. 150-151. Behandlung des Problems für ein Widerstandsgesetz a+bv".

0.

P. G. TAIT. Mathematical notes. Proc. of Edinb. VII. 434-438,

498-506. 1871.

4) Beziehungen zwischen entsprechenden Ordinaten zweier Parabeln. Lösung der Frage: Zwei Geschosse werden irgendwo gleichzeitig von einem Punkte abgeschossen; welche Relation besteht zwischen den verticalen Höhen zu irgend einer Zeit?

Glr. (0.)

F. SIACCI. Sur les principes du tir. Rev. d'art. V. 356-372,

457-463.

R. F. DAVIS. Solution of a question (4747.) Educ. Times

XXIV. 47-48.

Eine Kugel wird in einer Athmosphäre abgeschossen, deren Widerstand dem Cubus der Geschwindigkeit proportional ist. Bezeichnet dann f die Verzögerung beim Aufsteigen unter einem Winkel a gegen den Horizont, f, die bei horizontaler Bewegung, f, die beim Absteigen unter einem Winkel a gegen den Horizont, so existiren die Relationen:

H. PUTZ. Sur la théorie générale des percussions et sur la manière de l'appliquer au calcul des effets du tir sur les différentes parties de l'affût. C. R. LXXX.

295-297.

Ein fester Körper von der Masse M erleidet einen Stoss P in einer bestimmten Richtung. Dann ist die lebendige Kraft,

welche dem Körper dadurch ertheilt wird, gleich

wom ein Bruchtheil der Masse ist, dessen Grösse nur von der Richtung, nicht von der Grösse des Stosses abhängt. Dies wird auf Geschütze angewendet.

0.

H. RESAL. Recherches sur la dispersion des éléments d'un obus à balles après l'explosion. Liouville J. (3) I.

121-140.

Im ersten Theil bespricht der Verfasser das Gewicht des Pulvers, welches nöthig, um ein hohles und leeres Geschoss zum Platzen zu bringen. Dies hat kein mathematisches Interesse. Im zweiten Theil dagegen behandelt er mathematisch den Einfluss der Rotation des Geschosses auf die Zerstreuung und gelangt zu dem Resultat, dass die Rotation die Zerstreuung der innern Kugeln parallel der Schussebene begünstige.

0.

J. M. DE TILLY. Balistique intérieure. Gand. Annont.

Cursus der Militärschule zu Brüssel. Die Hauptabschnitte des Buches sind: I.) Mechanische Wärmetheorie. II.) Bewegung des Geschosses in der Kanone. 1) Umstände von denen die wirkliche Kraft der Explosionsstoffe herrührt. 2) Nutzeffect des Pulvers: experimentelle und mathematische Bestimmung. 3) Schädliche Wirkungen.

Der Verfasser hat mit gewohnter Schärfe die schwachen Theile seiner Balistique extérieur und das vorliegende Buch selbst beleuchtet in einer Arbeit: Mémoire sur diverses questions de balistique, die in der Revue belge d'art., des sciences et de technologie militaire erschienen ist. Er behandelt daselbst 1) die Definition der Calorie, 2) das Gesetz des Luftwiderstandes, 3) die Theorie der Rotation der Geschosse und mechanische Aehnlichkeit, 4) die Frage des Kalibers. Mn. (0.)