Gebilde in starrer Verbindung steht, umhüllt eine solche. Von den Theoremen, welche für beide Arten von Trajectorien gewisse Analogien bieten, mögen folgende hier Platz finden:

Die Normalen an den Flächentrajectorien der Punkte einer Geraden gehören einem Hyperboloid an.

Die Normalen an den Flächen, welche die Ebenen eines Ebenenbüschels beschreiben, liegen auf einem hyperbolischen Paraboloid.

Die Hauptkrümmungsmittelpunkte der Flächentrajectorien von Punkten einer Geraden liegen auf einer Raumcurve sechster Ordnung.

Bei der Verrückung eines Ebenenbüschels beschreibt jede Ebene eine Fläche; die Hauptkrümmungsmittelpunkte dieser Flächen liegen auf einer Raumcurve sechster Ordnung.

Ausser diesen hier erwähnten Analogien hebt der Verfasser noch einige andere in seiner Schrift hervor. Schn.

A. MANNHEIM.

Propriétés relatives à un faisceau de plans qui est mobile. Ass. Franc. Lille. 1874.

Ein in sich starr gedachtes Ebenenbüschel erleide eine Bewegung. Ist diese derartig, dass vier Ebenen desselben durch je einen festen Punkt einer gegebenen Ebene gehen, so gehen alle Ebenen des Büschels bei der Bewegung durch feste Punkte dieser Ebene, und zwar bilden diese Punkte einen Kegelschnitt; dieser ist die Spur, welche die Axe des Büschels auf der Ebene verzeichnet.

Bei einer unendlich kleinen Verrückung eines Ebenenbüschels giebt es drei Ebenen, welche mit festen Ebenen unveränderliche Winkel bilden.

Geometrische Beziehungen ähnlicher Natur entspringen noch mehrere aus den vorliegenden kinematischen Entwickelungen. Schn.

A. MANNHEIM. Sur les trajectoires des points d'une droite mobile dans l'espace. Bull. S. M. F. I. 106-114.

Die Arbeit ist bereits nach den C. R. besprochen, siehe F. d. M. V. 445.

0.

A. MANNHEIM. Deux théorèmes d'une nature paradoxe. Ass. Franc. Lyon. 1873.

Die beiden Theoreme sind folgende:

1) Wenn eine Ebene in sich selbst irgend wie gleitet, so bleiben die imaginären Kreispunkte unbeweglich.

2) Wenn ein in sich starr gedachter Raum irgend welche Verrückung erfährt, so gleitet der imaginäre Kugelkreis in sich selbst.

Von diesen Theoremen wird eine Anwendung gemacht auf den Ort der Krümmungscentra der Trajectorien von Punkten, welche mit den bewegten Systemen in starrer Verbindung stehen. Sie lauten:

1) Die Krümmungscentra der Trajectorien von Punkten einer Curve, welche durch die imaginären Kreispunkte geht, gehören einer Curve an, welche gleichfalls durch jene Punkte hindurchgeht.

2) Die Hauptkrümmungscentra der Flächentrajectorien von Punkten, welche einer durch den imaginären Kugelkreis gehenden Fläche angehören, bilden eine Fläche, welche den imaginären Kugelkreis gleichfalls in sich schliesst. Schn.

G. HALPHÉN. Sur le déplacement d'un solide invariable.

Bull. S. M. F. II. 56-62.

Siehe Abschn. IX. Cap. 4. p. 515.

G. HALPHEN. Sur le mouvement d'une droite. Bull. S. M. F. I. 114-117.

Siehe Abschn. IX. Cap. 4. p. 515.

M. CHASLES. Théorèmes généraux sur le déplacement d'une figure plane sur son plan. C. R. LXXX. 346-352. Siehe Abschn. VIII. Cap. 5. C. p. 396.

L. BURMESTER. Kinematisch-geometrische Untersuchungen der Bewegung gesetzmässig-veränderlicher Systeme.

Schlömilch Z. XX. 381-422.

Zwei in der Ebene liegende collineare Systeme haben drei selbstentsprechende Punkte und drei selbstentsprechende Gerade, welche durch diese Punkte gehen. Ist ausser drei selbstentsprechenden Punkten noch einem beliebigen Punkt in dem einen System ein beliebiger Punkt in dem anderen System zugewiesen, so sind diese Systeme in ihrer collinearen Beziehung bestimmt, d. h. aus den einander zugewiesenen Elementen ist zu jedem neuen beliebig gewählten Punkt im ersten System der entsprechende im zweiten construirbar. Wenn nun ein ebenes System in sich collinear bleibend sich so bewegt, dass drei seiner Punkte fest sind, der vierte aber eine beliebige Bahn durchläuft, so ist dadurch eine Bewegung bestimmt, welche als einförmige Bewegung eines collinear veränderlichen Systems bezeichnet wird. Den Gesetzen dieser Bewegung ist der erste Theil der Abhandlung im Wesentlichen gewidmet. Die Grundlage für diese Gesetze bildet der Satz: „Alle Bahncurven der beweglichen Systempunkte sind entsprechende Curven in collinearen ebenen Systemen, welche die drei festen Punkte als selbstentsprechende Punkte besitzen". Ein wichtiges Princip der Umkehrbarkeit der Bewegung knüpft sich an diesen Satz. Geht bei der einförmigen Bewegung eines collinear veränderlichen ebenen Systems S die Systemcurve K durch die Phasen K,, K2, K, ..., so beschreiben die Punkte A, B, C... der Curve K die Bahncurven a, b, c ... Denkt man alle Phasen K1, K, K, ... erstarrt, so lassen sich diese als Bahncurven einer Curve L ansehen, welche einem neuen collinear veränderlichen System angehört, das dieselben festen Punkte wie das System S besitzt, und deren Phasen a, b, c ... sind. Eine derartige Umkehrbarkeit der Bewegung gilt auch bei der allgemeinen Bewegung eines collinear veränderlichen Systems, mit welcher sich der Verfasser in einer früheren Arbeit beschäftigt hat. Gegen Ende des ersten Theils wird dieses Princip für allgemeine Bewegungsformen dargelegt und seine Fruchtbarkeit für die Er

forschung kinematisch-geometrischer Gesetze an einem Specialfall nachgewiesen. Was nun im Besonderen die einförmige Bewegung collinear veränderlicher Systeme betrifft, so folgt unmittelbar aus dem oben angeführten Fundamentalgesetz, dass, wenn die Bahn eines Punktes ein Kegelschnitt ist, alle Punkte Kegelschnitte bei der Bewegung beschreiben. Ist der Bahnkegelschnitt jenes Punktes ein solcher, welcher zwei selbstentsprechende Gerade in je einem selbstentsprechenden Punkte berührt, so berühren die Bahnkegelschnitte aller beweglichen Systempunkte jene Geraden in denselben Punkten; sie bilden also ein Büschel von Kegelschnitten, für welche der dritte selbstentsprechende Punkt, und die dritte selbstentsprechende Gerade Pol und Polare sind. Da je ein Element dieser Kegelschnittschaar durch einen Punkt eindeutig bestimmt ist, so muss jeder Kegelschnitt der Schaar bei der betrachteten Bewegung sich in sich selbst bewegen. Als Hüllbahncurve eines solchen Kegelschnitts ist also der Kegelschnitt selbst aufzufassen. Die besondere Natur dieser Kegelschnittschaar giebt Veranlassung zu der Frage, ob es bei der einförmigen Bewegung collinear veränderlicher Systeme noch andere Curvensysteme giebt, welche bei solcher Bewegung in sich selbst übergehen. In der That giebt es solche Curven, welche der Verfasser Selbsthüllcurven" nennt; es sind das dieselben Curven, welche die Herren Klein und Lie in der Abhandlung Ueber diejenigen ebenen Curven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich selbst übergehen" (Clebsch Ann. IV. p. 50, siehe F. d. M. III. p. 348) W-Curven genannt und analytischgeometrisch in ihren wichtigsten Eigenschaften untersucht haben.

Im zweiten Theile der Abhandlung wendet sich der Verfasser zu collinear-veränderlichen räumlichen Systemen. Zwei collineare räumliche Systeme sind durch fünf Paar entsprechender Punkte bestimmt. Nimmt man demnach vier Punkte als fest an und lässt einen fünften auf einer beliebigen Bahn sich bewegen, so ist dadurch die Bewegung eines in sich collinear bleibenden Raumgebildes bestimmt. Eine derartige Bewegung wird wieder „einförmig" genannt. Als Grundgesetz gilt, dass alle Bahncurven

der Systempunkte entsprechende Curven in collinearen räumlichen Systemen sind, welche die vier festen Punkte als selbstentsprechende Punkte besitzen. Auch für diesen Bewegungsvorgang gilt das Princip der Umkehrung. Es lassen sich nämlich bei der einförmigen Bewegung eines collinear-veränderlichen Systems S die Bahncurven der Punkte einer Systemcurve C als Phasen einer Systemcurve reines anderen einförmig bewegten collinearveränderlichen Systems ansehen, welches dieselben vier selbstentsprechenden Punkte enthält, wie das System S. Die Punkte der Curve I durchschreiten dabei die erstarrt gedachten Phasen der Curve C, und die Phasen der in liegenden Systemcurve I erzeugen dieselbe Bahnfläche, welche durch die Phase der in S liegenden Systemcurve C beschrieben wird. Ein ähnliches Umkehrungsprincip gilt für die Bahncurven der Punkte einer Systemfläche F eines einförmig bewegten collinear-veränderlichen räumlichen Systems S. Es lassen sich diese Bahncurven als die Phasen einer Systemcurve eines anderen einförmig bewegten collinearveränderlichen Systems Z auffassen, welches dieselben vier selbstentsprechenden Punkte enthält, wie das System S, und dessen aufliegende Punkte sich auf den erstarrt gedachten Phasen der Fläche F bewegen. Aus diesen grundlegenden Theoremen werden eine Reihe von Bewegungsgesetzen gefolgert, auf die hier des Näheren nicht eingegangen werden kann. Es mag genügen, auf ein Analogon der einförmigen Bewegung collinearveränderlicher ebener Systeme hinzuweisen. Die Geraden, welche die selbstentsprechenden vier Punkte des einförmig bewegten collinear veränderlichen räumlichen Systems verbinden, sind selbstentsprechende Geraden, und eine Fläche zweiten Grades, welche vier von diesen Geraden in sich enthält, hat die beiden noch übrigen zu conjugirten Polaren. Bewegt sich ein Systempunkt auf einer solchen Fläche, so bewegt sich jeder in dieser Fläche liegende Systempunkt auf dieser Fläche, d. h. eine derartige Fläche bewegt sich in sich selbst. Ist im Besonderen die Bewegung eine solche, dass ein Systempunkt auf einer Geraden dieser Fläche fortschreitet, so bewegen sich alle auf dieser Fläche liegenden Systempunkte auf der Regelschaar, zu der diese Ge