R. HOPPE.

Zum Problem des dreifach orthogonalen Flächensystems. Grunert Arch. LVII. 255-277, 366-385; LVIII.

37-48.

Die Arbeit ist die Fortsetzung der früheren Publicationen mit demselben Titel (Grunert Arch. LV. 362–391, LVI. 153–163, 250-267, LVII. 89-107) über welche in Bd. V. pag. 373 und Bd. VI. pag. 461 referirt ist. Die Discussion besonderer Fälle, in denen sich die Untersuchung nach der zu Grunde gelegten Methode durchführen lässt, wird fortgesetzt. Namentlich wird die allgemeinste Lösung der Aufgabe durchgeführt, orthogonale Flächensysteme zu finden, bei welchen die eine Flächenschaar aus Flächen zweiter Ordnung besteht; das Resultat stimmt mit dem von Schläfli im Borchardt'schen Journal mitgetheilte (LXXVI. 129-149. Referat. F. d. M. Bd. V. 390) überein.

A.

P. G. TAIT. On orthogonal isothermal surfaces. Trans.

of Edinb. XXVII. 105-123. 1872.

Untersuchungen über orthogonale isotherme Flächen mit Hülfe der Quaternionen. Glr. (0.)

D. BOBYLEW. Note über einige isotherme Umdrehungsflächen. J. d. Phys. Ges. zu Petersburg. 1875. (Russisch).

Es wird bewiesen, dass es nur vier ebene orthogonale und isotherme Liniensysteme giebt, welche bei einer Umdrehung isotherme Umdrehungsflächen erzeugen, nämlich

1. das rechtwinklige Cartesische Coordinatensystem,

2. das System der Polar-Coordinaten,

3. das System der confocalen und coaxalen Parabeln, deren Brennpunkt auf der Ordinatenaxe liegt und deren Hauptaxe mit derselben Geraden zusammenfällt,

4. das System der elliptischen Coordinaten mit den Brennpunkten auf der Ordinaten- oder Abscissenaxe. P.

Aoust.

Des surfaces coordonnées telles, qu'en chaque point consideré comme centre d'une sphère de rayon constant, les normales aux surfaces déterminent sur cette sphère les sommets d'un triangle d'aire constante.

C. R. LXXXI. 963-966.

Denkt man den Raum mit einem System von Coordinatenflächen erfüllt und umschreibt jedem Punkte eine Kugel mit constantem Radius, so bestimmen auf dieser die zum Punkte gehörigen Normalen der Coordinatenflächen ein sphärisches Dreieck; ist der Inhalt desselben nun constant, so besitzen die Coordinatenflächen folgende Eigenschaft. Nimmt man für ein beliebiges Element einer Coordinatenlinie die Haupt- und die beiden Seitenkrümmungen und projicirt dieselben auf die Tagentialebenen, welche das Bogenelement enthalten, so ist die Summe der sechs Projectionen gleich Null. In anderer Form erscheinen diese Bedingungen, wenn man die Variationen, welche der Inhalt eines solchen sphärischen Dreiecks bei einem beliebigen System von Coordinatenflächen erfährt, nicht durch die geodätischen Krümmungen, sondern durch die Variationen der Coordinatenbogen und der Winkel zwischen den Coordinatenlinien ausdrückt.

K.

E. CATALAN. Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces. Mém. de Belg. en 8°. XXIV.

J. M. DE TILLY. Rapport sur ce mémoire. Bull. de Belg.

(2) XXXVIII. 804-809.

Die Bemerkungen sind eine Fortsetzung der Arbeit: Recherches sur les surfaces gauches (Mém. de Belg. XVIII. 1866). Kurz darüber zu berichten ist nicht wohl möglich. Die einzelnen Capitel haben folgenden Inhalt: 1. Jeder windschiefen Fläche entspricht eine andere, welche die erste in ihrer gemeinsamen Strictionslinie berührt. 2. Untersuchung der Enveloppe der asymptotischen Ebenen einer solchen Fläche. 3. Ort der oscillirenden Kreise in den Normalschnitten einer Fläche in einem Punkt. 4. Oberfläche mit constanter Neigung. 5. Oberflächen mit ebener

Krümmungslinie. 6. und 7. Schneckenförmige Oberflächen. 8. Oberflächen mit Linien geradliniger Striction. 9. Conchoidale Oberflächen. 10. Cycliden mit geradliniger Directrix. 11. Ueber einige Eigenschaften windschiefer Curven. 12. Enveloppe eines Umdrehungscylinders. 13. Ort der Krümmungsmittelpunkte eines Ellipsoids.

boloids.

14. Polhodie. 15. Parallele Oberfläche des Hyper

F. DE BOER.

Mn. (0.)

Iets over aanraking by kromme lijnen

en oppervlakken. Deventer de Lange.

Diese Abhandlung enthält einen Beitrag zur Theorie der Berührung bei Curven und Flächen. Ein Punkt, der in den Lehrbüchern meistentheils nicht oder nur oberflächlich behandelt wird, nämlich die Berührung in den singulären Punkten, ist hier in den Vordergrund gestellt und wird ausführlich entwickelt. Die Methode ist rein analytisch und nimmt nur die Differenzenund Differentialrechnung zur Hülfe, indem jede geometrische Erläuterung durch Figuren oder Anwendungen auf besondere Curven und Beispiele fehlt. Das Buch enthält drei Abtheilungen, die erste (S. 1-4) behandelt die ebenen Curven, die zweite (41-76) die Curven im Raume, die dritte (77—122) die Flächen.

G.

W. SPOTTISWOODE. On multiple contact of surfaces.

Proc. of London XXIII. 509-510.

Auszug aus der Arbeit. Das Referat erfolgt nach Erscheinen der Arbeit in den Phil. Trans.

Cly. (0.)

W. K. CLIFFord. On Mr. Spottiswoode's contact problem. Phil. Trans. CLXIV. 705-718.

Die Arbeit besteht aus zwei Theilen. Der erste Theil behandelt die Berührung von Kegeln mit einer gegebenen Oberfläche, eine Gattung von Fragen, die zuerst Sylvester in seiner Arbeit: On the contact of conics with surfaces (F. d. M. II. p. 556)

untersucht hat. Der Verfasser reproducirt hier mit Zusätzen die Resultate dieser Arbeit in der folgenden Tafel :

* Zahl der 5-Punkt-Kegel durch einen festen Punkt . = 6

Grad der Oberfläche, gebildet von 5-Punkt-Kegeln

durch eine feste Achse.

*Zahl der 6-Punkt-Kegel durch eine feste Achse. * Zahl der 7-Punkt-Kegel

wo die mit einem Stern bezeichneten Resultate Zusätze sind.

Der zweite Theil handelt von der Berührung einer Fläche zweiten Grades mit einer Fläche vom Grade n. Speciell wird die Zahl der Punkte bestimmt, in welchen eine Fläche zweiten Grades (ausser der zwei Mal gerechneten Tangentialebene) vier Berührungszweige mit der Fläche haben kann. In einer Arbeit ,,On the contact of surfaces" (Phil. Trans. CLXII. s. F. d. M. IV. p, 376) hat Herr Spottiswoode bewiesen, dass es in einem willkürlichen Punkte der Oberfläche keine Lösung ausser der der Doppel-Tangentialebene giebt, und die Bedingungen aufgestellt, welche durch die Punkte erfüllt werden müssen, wenn eine andere Lösung möglich sein soll.

Die angewandte Methode ist eine Ausdehnung der Joachimsthal'schen. Die Coordinaten eines Punktes auf einem Kegelschnitt werden als Functionen eines einzelnen Parameters ausgedrückt, die eines Punktes auf einer Fläche zweiten Grades durch zwei Parameter. Zur Bestimmung des Schnittes mit einer gegebenen Oberfläche hat man dann eine Gleichung für den oder die Parameter. Die Bedingungen der Berührung werden als Functionen der Coefficienten der Gleichung ausgedrückt. Der specielle Fall des Schnittes einer Oberfläche zweiten Grades mit einer dritten Grades wird mit Hülfe der Darstellung auf einer Ebene behandelt. Cly. (0.)

G. HALPHEN. Sur le contact des surfaces. Bull. S. M. F.

III. 28-37.

Soll eine Fläche mit einer gegebenen eine Berührung

Fortschr. d. Math. VII. 2.

30

nter Ordnung eingehen, so müssen zwischen ihren Coefficienten (n + 1)(n+2) 2

im Allgemeinen Bedingungen bestehen, wenn die Berührung in einem bestimmten Punkt der gegebenen Fläche stattfinden soll. Eine Ausnahme von dieser Regel bilden, wie Hermite (cours d'analyse) gezeigt hat, die Flächen 2ter Ordnung, welche mit einer gegebenen Fläche nur in discreten Punkten derselben eine Berührung 3ter Ordnung eingehen, und dann gleich in einfach unendlicher Schaar. Der Verfasser zeigt, dass diese Ausnahme nicht vereinzelt dasteht, sondern in ähnlicher Weise für Flächen 3ter, 4ter und 5ter Ordnung auftritt, während von da ab die allgemeine Regel zur Geltung gelangt. Bl.

L. SALTEL. Sur le plan osculateur et la sphère osculatrice.

Bull. S. M. F. II. 64.

Construction der Schmiegungsebene und Schmiegungskugel

in einem Punkt der cubischen Raumcurve.

Bl.

A. MANNHEIM. Construire la sphère osculatrice en un point de la courbe d'intersection de deux surfaces données. Bull. S. M. F. II. 140.

Die Construction wird mit Hülfe eines von dem Verfasser (C. R. LXXIV. siehe F. d. M. IV. p. 294) bemerkten Satzes über den Osculationskreis einer auf einer Oberfläche gelegenen Curve ausgeführt.

Bl.

G. FRATTINI. Alcune formole spettanti alla teoria infinitesimale delle superficie. Battaglini G. XIII. 161-167.

Eine Fläche ist in beliebigen Parametern u, v bestimmt, X, Y, Z bezeichnen die Richtungscosinus der Normale, r,, r, die Hauptkrümmungsradien, u die Summe der Hauptkrümmungen; es wird die für die x, y, z gleicherweise geltende Relation hergeleitet: