von denen jeder wieder die Curve in den 4 Berührungspunkten eines 4-doppeltberührenden Kegelschnittes schneidet. Zu solchen Kegelschnitten gehören auch ein Paar von Doppeltangenten; und vier solche, deren Berührungspunkte auf demselben Kegelschnitte liegen, bilden drei zu demselben Systeme gehörige Linienpaare. Die Aufgabe, die gestellt wird, ist für die von Herrn Zeuthen aufgestellte sogenannte dreiseitige oder vierseitige Curve (siehe F. d. M. VI. 367) zu ermitteln, wie die Doppeltangenten mit reeller Berührung sich auf die verschiedenen Systeme von Kegelschnitten vertheilen. Es wird dabei von besonderer Wichtigkeit zu entscheiden, wann die Berührungspunkte von vier Doppeltangenten auf demselben Kegelschnitte liegen können. Von den von Zeuthen gefundenen Resultaten ausgehend entwickelt der Verfasser in dieser Rücksicht eine Reihe von hübschen Sätzen, indem er zwischen Doppeltangenten erster Art d. h. solchen, die denselben Zweig der Curve zweimal berühren, und Doppeltangenten zweiter Art, welche zwei verschiedene Zweige berühren, unterscheidet. Zwei Doppeltangenten, welche die selben beiden Zweige berühren, werden ferner gleichartig oder ungleichartig genannt, je nachdem die beiden Zweige in demselben Paare von Scheitelwinkeln liegen oder nicht. Durch diese Sonderung wird eine Classification der verschiedenen Tangentenpaare und demnächst der Kegelschnittssysteme möglich. Auf die speciellen Curvenformen angewendet, ergeben die aufgestellten Sätze besonders für die vierseitige Curve die interessanten Resultate, dass die 16 reellen Doppeltangenten derselben sich alle auf die 30 der Kegelschnittssysteme vertheilen, während die übrigen 33 kein reelles Tangentenpaar enthalten. Wie aus einer späteren (p. 190-192) beigefügten Note des Herrn Zeuthen hervorgeht, haben die erlangten Resultate eine allgemeine Gültigkeit, indem sie auch noch für reelle Doppeltangenten mit imaginärer Berührung gelten, und sodann auf alle Curven 4ter Ordnung mit 4 oder 3 reellen Zweigen anwendbar werden, und sich ferner auf Curven mit 2, 1 oder keinem reellen Zweige oder ringförmige Curven erweitern lassen. Ferner macht Herr Zeuthen auf den Zusammenhang des gestellten Problems mit der Untersuchung der Geraden auf einer Fläche 3ter Ordnung aufmerksam. Gm. W. W. JOHNSON. Bipolar equations. Cartesian ovals. Gegenstand der Arbeit ist die Discussion des bipolaren Glr. (0.) EM. WEYR. Quelques théorèmes nouveaux sur la lemniscate. Bull. S. M. F. I. 18-19. Ein Auszug aus der in den Abhandlungen der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften enthaltenen Arbeit desselben Verfassers: „die Lemniskate in rationaler Behandlung“, über welche im VI. Bande dieses Jahrbuchs, S. 444 referirtwor den ist. Schl. ALLMAN, J. J. WALKER, E. B. ELLIOTT, R. TUCKER, Educ. Times XXIV. 39-40. Die Normale in einem Punkt einer Lemniscate theilt die die Brennpunkte verbindende Linie in dem Verhältnisse der Quadrate der Entfernungen von dem Brennpunkte. 0. A. CAYLEY. Note on the Cassinian. Messenger (2) V. 187-188. Eine symmetrische bicirculare Curve 4ten Grades hat im Allgemeinen auf der Axe 2 Knotenbrennpunkte und 4 gewöhnliche Brennpunkte. Für die Cassini'che Curve ist jeder Kreispunkt im Unendlichen ein Inflexionsknoten (flexenode, d. h. ein Knoten mit einer Inflexion auf jedem Zweige); von den 4 gewöhnlichen Brennpunkten auf der Axe fällt einer mit einem Д Knotenbrennpunkt zusammen, ein anderer mit dem anderen Knotenbrennpunkt. Es bleiben nur 2 gewöhnliche Brennpunkte auf der Axe, da die genannten Brennpunkte in der That Knotenbrennpunkte sind. Dies wird analytisch bewiesen. Glr. (0.) A. WANGERIN. Reduction der Potentialgleichung für gewisse Rotationskörper auf eine gewöhnliche Differentialgleichung. Preisschrift der Jablon. Ges. Leipzig. Hirzel. Siehe Abschn. X. Cap. 5. M. AZZARELLI. Studio di una linea del quart' ordine. Acc. P. d. N. L. XXVIII. 234-253. Die Curve ist definirt als der geometrische Ort der Punkte, für welche die Länge einer auf dem Radius vector im Curvenpunkt errichteten Senkrechten bis zur Abscissenaxe constant ist. Ihre Gleichung ist y' = a2x2 — x2y'. Die Curve hat die Eigenschaft, dass, wenn man sie in Bezug auf den Anfangspunkt durch reciproke Radien transformirt, man eine Curve derselben Art erhält, die aber um 90° gedreht erscheint. Weitere Discussionen, die sich auch auf die Quadratur und Rectification beziehen, und die Betrachtung der zugehörigen Rotationsfläche bilden den Inhalt der Arbeit. A. E. SANG. On a singular case of rectification in lines. of the fourth order. Proc. of Edinb. VII. 613-614. 1872. Die Curvexa sin (0+ k), y = b sin 20 ist rectificabel, wenn a= 4by/2. Dies Resultat wird geometrisch erläutert. Glr. (0.) ASTOR. Solution d'une question (1150). Nouv. Ann. (2) XIV. 189-191. Es wird der geometrische Ort der Berührungspunkte aller Tangenten gesucht, die von einem festen Punkt an alle gleich Fortschr. d. Math. VII. 2. 29 seitigen, die drei Seiten eines gegebenen Dreiecks berührenden Hyperbeln gezogen werden können. M. S. WATSON. Solution of a question (3618). Educ. Times XXIV. 26-27. Bestimmung des Ortes des Schnittes einer Normale an eine Ellipse mit dem vom Brennpunkt oder Mittelpunkt auf sie gefällten Lothe. 0. L. PHILIPPIN. Solution de la question 22. N. C. M I. 124-132. L. SALTEL et E. DEWULF. Remarques sur la solution de Mr. Philippin. N. C. M. I. 196-198. Wenn 3 feste Punkte gegeben sind, soll man den Ort eines vierten Punktes so bestimmen, dass die Axen zweier Parabeln, die durch diese 4 Punkte gehen, einen gegebenen Winkel bilden. Herr Philippin findet, dass der Ort eine Curve 4ten Grades mit 3 Knoten ist, welche die 3 gegebenen Punkte zu Doppelpunkten hat. Sie ist die argesische Transformirte eines Kreises, der zu dem durch die 3 Punkte bestimmten concentrisch ist. Die Herren Saltel und Dewulf leiten denselben Satz geometrisch her. Mn. (0.) L. BOURGUET. Solution d'une question (900). Nouv. Ann. (2) XIV. 236-238. Eine gegebene Ellipse bewegt sich im Innern einer festen gegebenen Parabel so, dass sie diese Parabel in 2 Punkten berührt. Es wird der geometrische Ort der Mittelpunkte der Ellipse und die Enveloppe der Geraden, die durch die beiden Berührungspunkte geht, bestimmt. 0. H. QUET. Solution d'une question (1139). Nouv. Ann. (2) XIV. 185-188. Durch einen Punkt A ausserhalb einer Parabel lege man die beiden Tangenten an die Curve und zeichne in den Berührungspunkten die Normalen, die sich in B schneiden mögen. Es wird dann der geometrische Ort für A bestimmt, wenn der von B eine Gerade oder ein Kreis, der den Scheitel der Parabel zum Mittelpunkt hat. Im ersteren Fall ergiebt sich eine Parabel, im zweiten eine Curve 4ten Grades. 0. L. MALEYX. Propriétés de la strophoïde. Nouv. Ann. (2) XIV. 193-216, 241-259. Beide Arbeiten des Verfassers schliessen sich an eine frühere an. Was unter Strophoïde zu verstehen ist, kann man aus folgendem Satz erkennen, der zu Anfang steht: Giebt man zu einem Kegelschnitt zwei Tangenten und die eine Directrix, so ist der geometrische Ort des dieser Directrix zugehörenden Brennpunktes eine Strophoïde, deren Doppelpunkt der Schnittpunkt der beiden Tangenten ist. Die Durchschnitte der Tangenten mit der Directrix sind zwei correspondirende Punkte für die Curve. Es werden nun zahlreiche Sätze mit Beweisen gegeben, die hier nicht weiter mitgetheilt werden können. Die Methode ist im Wesentlichen die durch Transformation einer Figur mittelst reciproker Radii vectores. Mz. K. ZAHRADNIK. Theorie der Cardioïde. Prag. Ber. 1875. 180-189. Der Verfasser ersetzt zuerst die Gleichung der Cardioide, welche bekanntlich lautet: (x2+y')' —4ax(x2 + y2) = 4a3y', mit den Veränderlichen x, y, u. Hiermit ist durch jeden Werth des Parameters u ein Curvenpunkt eindeutig definirt. Die Parameter der Schnittpunkte einer Geraden mx+ny+1=0 mit |