Verfasser die Hyperbel am Winkel construiren lässt statt umgekehrt, und im zweiten Fall das Sechstel erst verdoppelt.

H.

H. LEMELLE. Solution d'une question (1165). Nouv. Anu.

(2) XIV. 285-286.

Die Differenz der Quadrate der Entfernungen zweier Punkte der Axe einer Parabel von einer Tangente ist constant, wenn die Punkte gleich weit vom Brennpunkt entfernt liegen.

0.

C. MOREAU. Solution d'une question (1143). Nouv. Ann.

(2) XIV. 132.

In jeder Parabel ist von den Längen, um welche der Pol und die Enden irgend einer Sehne von einer beliebigen Tangente entfernt sind, die erste immer die mittlere Porportionale der beiden andern. Darauf wird eine Construction der Parabel begründet, von der der Scheitel, eine Tangente und ein Punkt bekannt sind. 0.

R. F. SCOTT. Solution of a question (4629). Educ. Times

gegeben. Es wird die Gleichung des Kreises abgeleitet, für welchen das durch die in m1, m2, m ̧ gelegten Tangenten gebildete Dreieck sich selbst conjugirt ist.

0.

H. QUET. Solution d'une question (1139). Nouv. Ann. (2)

XIV. 185-188.

Von einem Punkte A ausserhalb einer Parabel werden 2 Tangenten an diese gezogen, und die in den Berührungspunkten errichteten Normalen schneiden sich in einem Punkte B; nun

wird der geometrische Ort von A untersucht, wenn der geometrische Ort von B 1) eine Gerade, 2) ein Kreis um den Scheitel der Parabel ist.

M.

P. RICCARDI. Esercitazione geometrica. Mem. di Modena. XVI. Jg.

Weitere Aufgaben über Kegelschnitte von C. LEUDESDORF, R. TUCKER, R. W. GENESE, J. J. WALKER, T. J. SANDERSON, R. F. DAVIS, L. W. JONES, E. B. ELLIOT, R. F.SCOTT, J.L. MCKENZIE, F. D. THOMSON, S. A. RENSHAW, N. SARKAR, NASH finden sich Educ. Times XXIII. 49, 55, 76, 89, 92; XXIV. 20, 23, 60, 69, 82, 86, 101.

0.

A. HARNACK.

D. Andere specielle Curven.

Ueber die Verwerthung der elliptischen Functionen für die Geometrie der Curven dritten Grades. Diss., Clebsch Ann. IX. 1-54.

Ebenso wie den Punkten einer reellen Curve dritter Ordnung lassen sich auch den Tangenten einer Curve 3ter Klasse die reellen Werthe eines elliptischen Integrals als Parameter zuordnen, wobei je nach dem Werth des Moduls eine ein- oder zweitheilige Curve entsteht. Die complexen Werthe des Integrals sind dann durch die Punkte darstellbar, in welchen sich conjugirt imaginaire Tangenten schneiden (Klein, Clebsch Ann. VII.). In dem Fall einer zweitheiligen Curve (den als den allgemeineren der Verfasser in erster Linie behandelt) füllen jene Punkte den von den beiden Zweigen eingeschlossenen Theil der Ebene (doppelt) aus. Der Verfasser untersucht nun die Zugehörigkeit jener Punkte zu den Integralwerthen, indem er die Gleichung derjenigen Curven aufstellt und discutirt, längs deren der reelle

bezw. imaginaire Bestandtheil des Integrals constant ist. Diese Curven gehören einem System von Curven 6ter Ordnung an, welchen in der Theorie der Connexe eine weitere Bedeutung zukommt (siehe das Referat p. 60.).

Bl.

A. S. HART. On nine-point contact of cubic curves.

Trans. of Dublin. 1875.

Ausser den Inflexionspunkten auf den Curven 3ten Grades giebt es andere Punkte, in denen die Curve eine Berührung höchstmöglicher Ordnung mit andern Curven hat, nämlich 27 Berührungspunkte von Tangenten, die von den Inflexionspunkten, in welchen die Curve 6-punktige Berührung mit Kegelschnitten hat, gezogen sind, und 72 andere Punkte, deren jeder 9-punktige Berührung mit einer unendlichen Zahl anderer Curven 3ten Grades hat. Die letzteren Punkte hat Herr Salmon in einer Arbeit, gelesen im Jahre 1858 am 17ten Januar vor der Roy. Soc., untersucht. Er bestimmte ihre Zahl und gab die Gleichung der Curve, welche durch alle hindurchgeht, als vom 24ten Grade. In der vorliegenden Arbeit wird bewiesen, dass nur 6 von diesen 72 Punkten reell sind; auch wird die Gleichung vom 24ten Grade zerlegt in 24 lineare Factoren. Es werden ferner die Coordinaten der Schnittpunkte dieser Linien mit der Curve 3ten Grades, d. h. also die Coordinaten der in Rede stehenden Punkte, und andere Details gegeben. Csy. (0.)

A. HOCHHEIM. Ueber Pole und Polaren der parabolischen Curven dritter Ordnung. Halle a. S. Nebert.

Die durch die Gleichung

y = ax3 + bx2 + cx + d

gegebenen parabolischen Curven 3ter Ordnung sind Curven 3ter Ordnung mit einem im Unendlichen gelegenen Rückkehrpunkte, dessen Rückkehrtangente eine unendlich ferne Gerade ist. Die Sätze der vorliegenden Abhandlung, soweit sie nicht für alle Curven 3er Ordnung gelten, ergeben sich folglich, mit wenigen

Ausnahmen, aus diesen durch die Specialisirungen, welche das Auftreten des Rückkehrpunktes mit sich führt. Wir halten es deshalb nicht für nöthig, einen Auszug aus der Arbeit zu geben. Lth.

A. HOCHHEIM.

Die Brennpunkte der Differentialcurve

der Parabel. Grunert Arch. LVIII. 278-284.

Die Differentialcurve der Curve y = f(x) hat die Gleichung y= af'(x). Sie ist für die Parabel eine Curve 3ler Ordnung mit einer Spitze, die auf der unendlich fernen Geraden gelegen und deren Rückkehrtangente die x-Axe ist. Der Hauptsache nach sind daher die in obiger Abhandlung gefundenen Sätze die über die Brennpunkte von Curven 3ter Ordnung und Klasse, die schon länger bekannt sind. Lth.

A. HOCHHEIM.

Die gemischte Poloconik zweier Geraden bezüglich der Differentialcurve der Parabel. Grunert Arch.

LVII. 234-240.

Als gemischte Poloconik wird bezeichnet der Ort der Pole einer Geraden in Bezug auf das Büschel von Kegelschnitten, welches von den conischen Polaren der Punkte einer zweiten Geraden bezüglich einer Curve 3ter Ordnung gebildet ist.

Im vorliegenden Falle der Differentialcurve der Parabel (siehe voriges Referat) ist die Curve eine Parabel, deren Lage und Veränderungen bei Aenderungen der beiden Geraden untersucht werden.

Lth.

P. MANSION. Les cubiques unicursales sont des cissoides. N. C. M. I. 86-87.

Analyse der Arbeit von Zahradnik in Grunert Arch. LVI. 8-10, siehe F. d. M. VI. p. 443.

Mn. (0.)

HAUB. Ueber die geometrischen Eigenschaften der Curve,

deren Gleichung

y1(2a —x) — x(a — x)2 = 0

lautet. Pr. Rössel.

=

Der Verfasser definirt eine gewisse ebene Curve folgendermassen: Im Mittelpunkte C einer Geraden AB von gegebener Länge 2a werde ein Loth zu AB errichtet, und durch A eine willkürliche Gerade gezogen, die dieses Loth in D trifft. Man trage nun auf AD von D aus nach beiden Seiten das Stück CD ab, so dass also DM = DM, CD, wenn M und M, die Endpunkte der abgetragenen Strecken sind. Die Curve ist nun der Ort aller so erhaltenen Punkte M und M,, während die Gerade AD sich um A dreht. Zur Erhaltung der Gleichung wird A als Coordinatenanfang, und AB als X-Axe angenommen. Es folgt dann die Discussion der Gleichung mit geometrischen Anwendungen, hierauf Herleitung der Gleichungen von Tangente, Normale, Polarsubtangente und Polarsubnormale mit weiteren geometrischen Beziehungen, und schliesslich die Quadratur der Curve. Eine Fortsetzung ist in Aussicht gestellt.

Mz.

LAURANS & MORET-BLANC. Solution d'une question (1155).

Von einem Punkt P kann man dann 3 Tangenten an die Curve ziehen. Bezeichnet man dann mit C den Kreis, der durch die Berührungspunkte geht, so wird der geometrische Ort der Punkte P gesucht, für welche C einen constanten Radius hat, der Mittelpunkt von C auf der Curve liegt, der Kreis C die Curve berührt.

0.

A. CAYLEY.

XXIV. 89-91.

Solution of a question (4752). Educ. Times

Wenn a, b, c die Coordinaten eines Punktes auf der Curve