Zu Grunde gelegt ist die Kegelschnittsgleichung in homogenen Coordinaten :

f(x, y, z) = Ax2+A'y2+2Bxy+2Cxz +2Cyz+Dz2 = 0. Zuerst wird die Gleichung, dass dieser Kegelschnitt in zwei Gerade zerfalle, in Determinantenform aufgestellt; jene Determinante, mit 0, a, b, c symmetrisch gerändert, sagt gleich Null gesetzt aus, dass die Gleichung ax+by+cz= 0 diejenige einer Tangente ist. Weiterhin folgt die Gleichung einer von einem Punkte ausserhalb an den Kegelschnitt gezogenen Tangente und die Gleichung derjenigen Berührungslinie, welche im Schnittpunkt der Curve mit der Geraden (px + qy + rz) an erstere gelegt wird; letztere hat die Form:

Denkt man sich mit genauer Beibehaltung der obigen Terminologie die Quadrigleichung mit vier Variabelen f(x, y, z, u) gebildet, so sagt jetzt das Verschwinden der Discriminante aus, dass die Fläche 2ter Ordnung ein Kegel sei; um die Bedingungsrelation für die Tangenteneigenschaft der Geraden

ax+by+cz+du

=

a'x+by+c'z + d'u = 0

zu finden, rändert man jene symmetrische Determinante noch zweimal resp. mit 0, a, b, c; 0, a, a', b', c'. Dann wird noch die Gleichung derjenigen Quadrifläche aufgestellt, welche die Coordinatenaxen berührt, und die oben ausführlicher erörterte Bedingung des Tangentenziehens auf den Raum ausgedehnt.

Gr.

G. EMSMANN. Die Kegelschnitte als geometrische Oerter für die Mittelpunkte von Kreisen, welche zwei gegebene Kreise berühren, analytisch - geometrisch behandelt. Pr. Frankfurt a. O.

Mz.

SOUBEIRAN.

Solution d'une question (1151). Nouv. Ann.

(2) XIV. 141-143.

Zwei Ecken A, B eines Dreiecks ABC seien fest; die dritte C bewege sich in der Ebene des Dreiecks so, dass der Fusspunkt der Halbirenden des Winkels A eine gegebene Gerade beschreibt: dann ist der geometrische Ort von C ein Kegelschnitt.

0.

E. CATALAN. Sur un lieu géométrique. N. C. M. I. 117-119.

Der Ort des Berührungspunktes zweier veränderlicher Kreise, die zwei feste Kreise berühren, ist ein Kreis.

Mn. (0.)

J. NEUBERG. Équation focale des coniques en coordonnées tangentielles. N. C. M. I. 76-80.

J. NEUBERG. Sur une conique. N. C. M. I. 161.

Zwei Ecken eines Dreiecks sind fest. Der Fusspunkt der Winkelhalbirenden durchläuft eine Gerade. Dann ist der Ort der dritten Ecke eine Parabel, welche die erste Ecke zum Brennpunkt, die Gerade zur Directrix hat und durch die zweite Ecke hindurchgeht. Mn. (0.)

H. M. TAYLOR. On the envelope of the straight line which makes equal chords in two given circles.

Messenger (2) V. 163.

Die Enveloppe aller geraden Linien, welche in 2 gegebenen Kreisen gleiche Sehnen haben, ist eine Parabel, deren Parameter 2(a2-b2)

ist, wo a und b die Radien der Kreise und c die

Entfernung ihrer Mittelpunkte ist.

A. TOURETTES.

XIV. 172-175.

Glr. (0.)

Solution d'une question. Nouv. Ann. (2)

Durch einen Punkt kann man im Allgemeinen 2 Parabeln

ziehen, welche einem gegebenen Dreiecke umschrieben sind. Es wird der Ort der Punkte bestimmt, für welche die Axen dieser beiden Parabeln einen gegebenen Winkel mit einander machen.

0.

A. MARTIN, J. WOLSTENHOLME. Solution of a question (3994.) Educ. Times XXIV. 79-81.

Ein gleichseitiges Dreieck bewegt sich so, dass die Enden seiner Basis stets auf den Schenkeln eines rechteu Winkels bleiben. Der Ort der dritten Ecke ist dann ein Paar von Ellipsen mit dem Schnittpunkt des rechten Winkels als Mittelpunkt.

0.

L. MICHEL. Solution d'une question. Nouv. Ann. (2) XIV.

468-469.

Wenn die Mittellinien eines einer Ellipse eingeschriebenen Dreiecks sich im Mittelpunkt der Curve schneiden, so ist der Ort des Schnittpunktes seiner Höhen wieder eine Ellipse.

0.

E. PELLET. Solutions de deux questions (767 u. 768.). Nouv. Ann. (2) XIV. 68-71.

Beweis zweier Sätze über den Ort der Mittelpunkte von Kreisen, die gewissen einer Ellipse eingeschriebenen Figuren umschrieben sind.

0.

E. FIOT. Question de Mathématiques spéciales. Nouv. Ann.

(2) XIV. 306-316.

Der Verfasser behandelt folgende Aufgabe: Eine Ellipse und eine mit ihr homofocale Hyperbel sind gegeben; man denke sich irgend einen Kegelschnitt c, der jede der gegebenen Curven doppelt berührt. Man soll den Ort der Schnittpunkte von Tangenten der Ellipse und Hyperbel in den Berührungspunkten

mit c finden und discutiren. Die gegebenen Kegelschnitte mögen die Gleichungen haben:

wo also a2>>b2. Die Berührungssehnen von s und s' mit c gehen nun entweder durch den Coordinatenanfang, oder sind den Axen parallel, was drei Fälle giebt. Dem ersten Fall zufolge sei

c = s—k(y — mx)2 = 0; c = s'—k'(y—m'x)2 = 0. Da dies denselben Kegelschnitt bestimmen soll, so muss

Ferner haben die Tangenten von s in den Berührungspunkten mit c die Gleichung:

und die Tangenten der Hyperbel s' in den Berührungspunkten mit c haben die Gleichung

Durch Elimination von m und m' aus den drei letzten Gleichungen kommt nach Ausschluss des Imaginären:

also ein Kreis; die andern beiden Fälle sind in ähnlicher Weise behandelt, geben aber andere Resultate.

=

Mz.

R. W. GENESE. On the conic By Kad and a certain envelope. Quart. J. XIV. 44-45.

Cly.

M. GREINER. Die orthoptische Linie eines Kegelschnitts.

Grunert Arch. LVII. 343-350.

Enthält Bekanntes.

Mz.

R. W. GENESE.

V. 154-156.

Geometrical evaluations. Messenger (2)

Der Verfasser betrachtet geometrisch die Grenzfälle gewisser wohl bekannter Sätze über Kegelschnitte, z. B. wenn die Ellipse Parabel wird oder wenn ein Punkt sich nicht auf der Curve fortbewegt, sondern ein Punkt auf derselben wird.

Glr. (0.)

J. R. VANANS. Ueber eine Deutung der Parabelgleichung. Casopis IV. (Böhmisch.)

Es wird der Zusammenhang besprochen, in den die Lösung der quadratischen Gleichungen mit der Parabel gebracht werden kann.

W.

R. TUCKER. To find the latus rectum of a parabola. Messenger (2) V. 189.

Methode, um den Parameter der Parabel

(bx+gy)2+2b'x+2a'y +0 = 0

zu bestimmen.

Glr. (0.)

G. DOSTOR. Équation générale des deux tangentes menées d'un même point à une conique et équation du cône circonscrit à une surface du second degré.

Grunert Arch. LVII. 191-203.

Der Titel drückt den Inhalt in aller Vollständigkeit aus.

Gr.

R. TOWNSEND. Solution of a question (4553.) Educ. Times

XXIV. 17-18.

Wenn und die Längen zweier von einem beliebigen Punkt P an einen Kegelschnitt gezogenen Tangenten sind, fund f' die Entfernungen der Punkte P von den Brennpunkten F und F', r die Entfernung vom Mittelpunkt 0, z endlich die Entfernung vom Mittelpunkte Q der Berührungssehne TT", so ist für einen