Lage zu einander und zu den Punkten S, J und R existiren, verweisen wir auf die Abhandlung selbst. Im letzten Theile derselben werden die Kegelschnitte, welche zu den symmetrischen Geraden 2ten Grades reciprok sind, eingehend untersucht. Schl.

A. REUM.

Die merkwürdigen Punkte des Dreiecks in trimetrischen Coordinaten. Pr. Hagen,

Der Verfasser entwickelt zuerst die Theorie der trimetrischen Coordinaten, Abstände des zu bestimmenden Punkts von den Seiten des Fundamentaldreiecks, soweit sie auf den vorliegenden Gegenstand Anwendung hat. Er wählt dann die Symmetriepunkte zu je vier derart, dass sie auf einer Geraden, und zwar harmonisch liegen. Die erste Gruppe von dieser Eigenschaft bilden der Schwerpunkt, der Höhenschnitt, der Mittelpunkt des Umkreises und der des Kreises durch die Mitten der Seiten. Die Verhältnisszahlen der Coordinaten sind beziehungsweise das Product der Sinus, das der Cosinus von 2 Dreieckswinkeln, der Cosinus eines und der Cosinus der Differenz von zwei Winkeln; die Multiplicatoren, welche daraus die wirklichen Coordinaten herstellen, sind 3, 2, 1, vom Radius des Umkreises. Die zweite Gruppe bilden der Mittelpunkt des Inkreises, das Radicalcentrum der 3 Ankreise, der Schnittpunkt der Transversalen nach deren Berührungspunkten und der Schwerpunkt. Dann folgen 3 Gruppen, welche man erhält, wenn man den Mittelpunkt je eines Ankreises, das Radicalcentrum des Inkreises und je zweier Ankreise, den Schwerpunkt und einen dem dritten Punkt voriger Gruppe entsprechenden Schnittpunkt je einer Transversale nach dem Berührungspunkt des Inkreises mit den Transversalen nach den Berührungspunkten der Ankreise an den 2 anderen Seiten betrachtet. Endlich wird noch eine grosse Anzahl von Punkten in Untersuchung gezogen, welche zu dreien in einer Geraden liegen, während es noch nicht gelungen ist, den vierten harmonischen Punkt zu deuten. Zum Schluss ist noch erwähnt, dass gewisse Verbindungen der vorhergenannten Punkte harmonische Schnitte ergeben.

H.

AZZARELLI. Delle coordinate biangolari e loro applicazione alla linea retta ed alle linee del second' ordine. Acc. P. d. N. L. XXVIII. 443-476.

Der Inhalt der Abhandlung ist zwar schon durch den Titel angegeben; zur näheren Erläuterung sei jedoch noch Folgendes bemerkt. Zwei feste Punkte A und B seien durch die Gerade AB verbunden; dann wird ein variabler Punkt M der Ebene durch die Winkel und definirt, welche im Dreieck AMB resp. bei B und A sind. Ferner wird eine Curve durch eine Gleichung von der Form f(9,0) = 0 dargestellt. Betrachtet man gleichzeitig die Mitte O von AB als Ursprung rechtwinkliger Parallel - Coordinaten, und OA als X-Axe, so vermitteln die Gleichungen

x = 1.

und

tg 0-tg p
tg0+tgg

wobei AB 21 gesetzt ist, den Uebergang vom gewöhnlichen Coordinatensystem zum biangularen, und umgekehrt. Eine Gerade, die von den in B und A auf AB errichteten Lothen resp. in B' und A' getroffen wird, hat, wenn

LABA', LBAB' = μ

gesetzt ist, die Gleichung:

tgλ coto+tgu cot 0 = 1.

Eine Ellipse mit A und B als Scheiteln hat die Gleichung:

F. E. THIEME.

Von den lateralen oder imaginären

Geraden. Grunert Arch. LVIII. 218-222.

Eine Gleichung 2ten Grades zwischen den rechtwinkligen Coordinaten x, y, welche sich durch Verlegung des Axensystems homogen machen lässt, drückt 2 reelle oder imaginäre, sich im

neuen Anfangspunkt schneidende Gerade aus. Im letztern Fall stellt der Verfasser dieselben in der Form dar:

x + yg (cos + i sinq) = 0,

x+yo (cos(q) + i sin(−q)) = 0,

construirt dann die 2 Ebenen, welche die xy Ebene unter den Winkeln und in der x-Axe schneiden, und nennt laterale Gerade diejenigen Geraden in diesen 2 Ebenen, welche mit der bilden. Hiervon wird Anwendung

-Axe den Winkel - arctg

1

୧

auf ein Beispiel von Salmon gemacht, wo die Gleichungen der Geraden die Form

x + y +92 = 0; x+93y + 9 = 0 haben, und eine imaginäre Kubikwurzel aus 3 ist.

J. WAILLE.

H.

Génération des lignes et des surfaces du second degré d'après Jacobi. Nouv. Ann. (2) XIV. 5-21.

Die Arbeit enthält eine Darstellung der Jacobi'schen Erzeugungsweise der Curven und Flächen 2ten Grades mit Hülfe des Ivory'schen Satzes und eine Discussion der verschiedenen dabei vorkommenden Fälle; sie weicht in keinem wesentlichen Punkte von der von Herrn Hermes gegebenen ausführlicheren Darstellung ab. (Vergl. Borchardt J. LXXIII. 179-206, 207-209, 209-273, F. d. M. III. 376-381.)

A.

E. LUCAS. Sur la théorie des sections coniques. Nouv.

Ann. (2) XIV. 265-269.

Der Verfasser unternimmt, besonders einfache analytische Beweise einiger bekannter Theoreme von den Kegelschnitten zu geben. So ist z. B. der Satz bewiesen: Sind zwei Dreiecke einem Kegelschnitt conjugirt, so liegen ihre sechs Ecken auch auf einem Kegelschnitt. Nimmt man nämlich das eine Dreieck als Coordinatendreieck an, so habe der erste Kegelschnitt die Gleichung. ax2 + a'y2+a"z2 = 0,

2

und sind (x, y, z,) (X2 Y1⁄2 Z2) (X3 Y3 ) die Coordinaten der Ecken

2

beiden Dreiecken umgeschrieben. Dass dies mit dem ersten (Coordinaten-) Dreieck der Fall, ergiebt die Form der Gleichung, und setzt man x, y, z, für x, y, z,, so drückt die letzte Gleichung aus, dass P, und P, dem ersten Kegelschnitt conjugirt sind, was der Fall sein soll. Also ist der zweite Kegelschnitt beiden Dreiecken umschrieben.

In gleich einfacher Weise werden andere dahin gehörende Sätze bewiesen.

Mz.

M. GREINER.

LVII. 337-343.

Der Transformationsfactor.

Grunert Arch.

Der Verfasser unternimmt, die allgemeinste Gleichung eines Kegelschnittes in rechtwinkligen Coordinaten, welche lautet:

α。。 X3+a1, Y3 +2α, XY+2a ̧2 X+2α12 Y+ɑ22 =0

11

auf ein anderes rechtwinkliges Coordinatensystem durch die Substitutionen:

a2+p2 = 1; a;+8; = 1; aα, + BB1 = 0,

zu beziehen. Da drei Transformationsgrössen willkürlich bleiben, so kann man dieselben so wählen, dass die transformirte Gleichung diese ist:

Da in diesem Falle die Coordinatenaxen mit den Hauptaxen des Kegelschnitts zusammenfallen, so giebt es eine Grösse k der Art, dass :

und k heisst dann der Transformationsfactor.

Nach verschiedenen Rechnungen folgt schliesslich

wo für die Ellipse das obere, für die Hyperbel das untere Vor

zeichen gilt.

Hieran schliessen sich noch einige Bemerkungen.

M. GREINER.

461-465.

Mz.

Einiges über Kegelschnitte. Bayr. Bl. XI.

Ausgehend von der Bemerkung, dass, wenn C = 0, D = 0, A=0 drei symbolische Geraden - Gleichungen darstellen, die Gleichung

CD-2A20
=0

alle Kegelschnitte umfasst, welche die Geraden C und D in ihren Schnittpunkten mit A berühren, stellt der Verfasser die Gleichung des Tangentenpaares vom Punkte x, y, z, für den Kegelschnitt F=α ̧‚ x2+α1, y2+ α2, 2 + 2α, xy +2α ̧,2 x + 2α, „2 y3

212

021

012

her, indem er durch successive dreimalige Ränderung einer ursprünglich zweireihigen Determinante für jene die Form

eruirt. Diese Formel wird dann noch eingehender für den speziellen Fall des unendlich entfernten Berührungspunktes discutirt, und zwar bezieht sich der Verfasser auf den von ihm zur Abkürzung der Entwickelungen im 57ten Bande des Grunert'schen Archivs (S. 337 ff.) in Vorschlag gebrachten ,,Transformationsfactor", siehe oben.

Gr.

G. DOSTOR. Application des discriminants aux courbes et surfaces du second degré. Grunert Arch. LVII. 5-16.