J. LÜROTH. Beweis eines Satzes über rationale Curven. Clebsch Ann. IX. 163-165. Beweis des Satzes, dass man, nöthigenfalls durch Einführung einer neuen Variabeln, eine unicursale Curve so auf eine Gerade beziehen kann, dass einem Punkt der Curve ein Punkt der Geraden und umgekehrt entspricht. Lth. S. GUNDELFINGER. Zur Theorie des Kegelschnittbüschels. Schlömilch Z. XX. 153-159. Der Verfasser untersucht einige Combinanten zweier ternären quadratischen Formen, und giebt deren Bedeutung für den diesen Formen angehörigen Kegelschnittbüschel. Es werden näher die beiden Curven des Büschels bestimmt, für welche das Doppelverhältniss der vier Grundpunkte ein äquianharmonisches wird. Sodann wird ein Kegelschnitt aufgestellt, der mit diesen beiden Curven ein System bildet, von welchen je zwei einander in Bezug auf den dritten als Directrix polar entsprechen. Die diesem Kegelschnitt angehörige Combinante, in die Relationen zwischen den Formen des simultanen Systems der beiden gegebenen Formen eingeführt, vereinfacht dieselben wesentlich. Nr. EM. WEYR. Ueber die Abbildung einer rationalen Raumcurve vierter Ordnung auf einen Kegelschnitt. Wien. Ber. LXXII. Directe Beziehung der Curve auf einen Kegelschnitt. Nr. K. ZAHRADNIK. Rationale ebene Curven dritter Ordnung und Klasse. Grunert Arch. LVI. 23-36. Fortsetzung der früheren Veröffentlichungen, mit Hinzuziehung der reciproken Sätze, die sich durch Liniencoordinatenbetrachtungen ergeben. Betrachtung der bekannten involutorischen Relationen u. dgl. A. Fortschr. d. Math. VII. 2. 27 C. Gerade Linie und Kegelschnitte. F. VAN WAGENINGEN. Leerboek der Analytische Meetkunst. I. deel. De Kegelsneden. 'Gravenhage. Gebrs. Beli fante. Ein Lehrbuch der analytischen Geometrie der Ebene, bearbeitet nach der neuen Methode von Plücker und Hesse. G. SAGORSKI. Analytisch-geometrische Untersuchungen. Pr. Pforta. Enthält in eingehender und gründlicher Darstellung Bekanntes aus der Theorie der geraden Linie und des Punktes in der Ebene. Mz. MORET-BLANC. Solution d'une question. Nouv. Ann. (2) XIV. 77-81. Der Verfasser nennt Projectionen eines Punktes auf eine Curve die Endpunkte der Normalen, die man von diesem Punkte nach der Curve ziehen kann. Er sucht dann den geometrischen Ort: 1) für die Projectionen eines Punktes auf alle durch einen Punkt gehenden Geraden, 2) der Projectionen eines Punktes auf die durch zwei feste Punkte gehenden Kreise, 3) der Projectionen eines Punktes auf alle durch 3 feste Punkte gehenden Parabeln, 4) der Projectionen eines Punktes auf alle durch vier feste Punkte gehenden Kegelschnitte. Zum Schluss werden die Lösungen der drei ersten speciellen Aufgaben auch aus der vierten allgemeineren abgeleitet. Wp. G. DOSTOR. Distances du point à la droite et du point au plan. Grunert Arch. LVII. 225-233. Vorausgesetzt ist ein beliebiges schiefwinkliges Coordinatensystem. Dann werden erstmalig in Form von Determinanten gleichungen, dann aber auch entwickelt nachstehende Grössen berechnet: Die Entfernung eines Punktes von einer Geraden, der Winkel zweier Geraden, die Entfernung eines Punktes von einer Ebene, und der Winkel zweier solchen. Neu ist wohl die Form für die den rechten Winkel bedingende Identität. Gr. Proof of an elementary theorem in R. W. GENese. Zu finden die Winkelhalbirenden von ax2+2hxy+by2 = 0 in schiefen Coordinaten. Glr. (0.) W. H. LOWRY. Note on a formula in analytical geo metry. Messenger (2) V. 129. Beweis der Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch 3 gegebene gerade Linien bestimmt ist. Glr. (0.) G. DOSTOR. Nouvelle expression de la surface du triangle, avec application au calcul en déterminant de cette surface en valeur de trois côtés du triangle. Grunert Arch. LVIII. 204-208. Die Seiten eines Dreiecks seien bekannt, gleich a, b, c, die zugehörigen Winkel seien A, B, C. Drückt man den Flächen inhalt S durch den Radius des umschriebenen Kreises aus, so hat man zur Bestimmung von S lediglich die drei Unbekannten A, B, C aus den vier Gleichungen und aus dieser Relation leiten sich die verschiedenen bekannten Formeln in einfachster Weise ab. Gr. R. HOPPE. Ueber die Symmetriepunkte des Dreiecks. Grunert Arch, LVII. 422-438. 29 Die den Seiten a,, a, a, des Fundamentaldreiecks gegenüberliegenden Ecken, deren rechtwinklige Coordinaten a, ß,, a2 P2, α, P1 gegeben sind, mögen mit den Gewichten P1, P2, P3 belastet sein. Dann ist durch dieses System ein Punkt p als Schwerpunkt bestimmt. Der Kürze wegen heissen P1, P2, P ̧ die Gewichte des Punktes p. Wenn dieselben homogene Functionen von a, a, a, sind, nämlich P1 = f(a1, a, a,), P2 und wenn ausserdem = P3 = f(az, a,, a2), wenn man den willkürlichen gemeinsamen Factor der p so bestimmt, dass Ep 1 wird. Ein zweiter und dritter Punkt sei q und r, und u eine unabhängige Variable, so ist der Ort des Punktes p+qu die Verbindungsgerade von p und q, der Ort des Punktes pqu+ru2 im Allgemeinen ein Kegelschnitt, der durch die drei Punkte p, q, r hindurchgeht. Zieht man durch den Punkt p die Ecktransversalen und vertauscht auf jeder Seite die beiden Abschnitte in der Stellung mit einander, und zieht die Transversalen nach den neuen Theilpunkten, so schneiden sich dieselben in einem Punkte 7, welcher der Schwerpunkt der reciist, und deshalb der reciproke proken Gewichte 1 1 1 P1 P2 P3 Punkt des Punktes p genannt werden kann. Variirt mit p, so können ebenso die Bahnen beider Punkte reciproke Linien heissen. Die reciproke Linie jeder Geraden ist ein Kegelschnitt, welcher dem Fundamentaldreiecke umschrieben ist. Derselbe lässt sich folgendermassen bestimmen: Beschreibt man um den Schwerpunkt des Dreiecks als Mittelpunkt eine Ellipse, welche durch die drei Eckpunkte hindurchgeht, so ist die Reciproke einer Geraden eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse, je nachdem die Gerade jene Ellipse durchschneidet, berührt oder gar nicht trifft. 1 Zur Bestimmung eines Symmetriepunktes genügt der Ausdruck des ersten Gewichts in a,, a, a,, da die beiden andern Gewichte aus dem ersten durch cyklische Vertauschung der a hervorgehen. Für den Schwerpunkt S sind die Gewichte = 1, für den Inkreismittelpunkt J ist das erste a,, für den Höhenpunkt H ist es = für den reciproken Punkt R a2+a;— a} des Höhenpunkts somit = a+a3-a. Die Symmetriepunkte zerfallen nach dem Grade der homogenen Function, durch welche die Gewichte dargestellt sind, in Punkte vom ersten, zweiten u. s. w. Grade. Aber die gemeinschaftlichen Factoren unter den Gewichtsausdrücken müssen beseitigt und gebrochene Functionen auf ganze reducirt werden. Die Symmetriepunkte 1ten Grades liegen auf der Verbindungsgeraden des Schwerpunkts mit dem Inkreismittelpunkt. Der reciproke Kegelschnitt dieser Symmetriegeraden erster Ordnung ist eine Hyperbel, für deren Mittelpunkt M das erste Gewicht = (a, -a,) ist. Als Grundpunkte 2ten Grades wählt der Verfasser vier Punkte A, B, C, D aus, deren erste Gewichte bezüglich a, a, (a,+a ̧), a‚a ̧, a;+a; sind. In Betreff der interessanten Beziehungen, welche über ihre |