Die Seiten eines beliebigen Dreiecks abc schneiden einen beliebigen Kegelschnitt C, in drei Punktpaaren a,аz, b2bз, c2 C3, welche mit den drei Punkten a,b,c,, in denen sich die Ecken abc aus einem beliebigen Punkt o des Kegelschnittes auf diesen projiciren, drei Punkttripel a,a,a,, b‚b‚b‚ e̟é̟é̟ ̧ einer cubischen Involution bilden. Die Aufgaben, eine durch zwei Strahlengruppen eines gewöhnlichen Strahlbüschels bestimmte cubische Strahleninvolution und eine durch zwei Punktgruppen auf einer Geraden bestimmte cubische Punktinvolution zu vervollständigen, werden auf die früheren zurückgeführt, dadurch dass man einen beliebigen durch den Scheitel des Strahlbüschels gehenden resp. die gerade Punktreihe berührenden Kegelschnitt (Kreis) construirt, und die so auf diesem erzeugte Punkt- oder Tangenteninvolution in der angegebenen Weise ergänzt.

Die folgenden auf den Seiten 41-54 enthaltenen Betrachtungen handeln von der Bestimmung cubischer Involutionen auf einem Kegelschnitt durch Paare entsprechender Punkte und Vervollständigung desselben. Es ergiebt sich, dass durch eine Elementargruppe und zwei beliebige Elementenpaare eine einzige, durch eine Gruppe, ein Paar und ein Verzweigungselement zwei, und durch vier Elementenpaare ebenfalls zwei (reelle oder imaginäre) cubische Involutionen bestimmt sind. Es giebt daher unter den Kegelschnitten einer Schaar (eines Büschels) nur zwei, welche Involutionskegelschnitte für eine cubische Punkt- (Tangenten)-involution auf einem gegebenen festen Kegelschnitt C, sind. In den Fällen, wo der Involutionskegelschnitt durch die zur Bestimmung der Involution gegebenen Elemente noch nicht bestimmt ist, wird zur Vervollständigung der Involution von der Eigenschaft desselben Gebrauch gemacht, dass er einem dem Träger eingeschriebenen Dreieck eingeschrieben sein muss. Eine cubische Involution mit zwei dreifachen Elementen ist durch eine Gruppe derselben a, a, a, eindeutig bestimmt. Die Gerade, welche die Schnittpunkte der Seiten des Dreiecks a,a,a, mit den Tangenten der Gegenecken enthält, schneidet den Kegelschnitt in den beiden dreifachen Punkten der Involution. Projicirt man irgend ein Punkt-Tripel oder Paar aus einem Punkte der die

beiden dreifachen Elemente verbindenden Geraden, so erhält man ein neues Tripel oder Paar.

Zum Schluss werden noch einige Erzeugungsarten von cubischen Involutionen auf rationalen Curven überhaupt angeführt, welche wesentlich Specialisirungen des oben angeführten Satzes tiber Erzeugung cubischer Involutionen durch Curvenbüschel sind. Schz.

EM. WEYR. Principes d'une théorie des systèmes symétriques d'éléments. Mém. d. Bord. X. 329-354.

Es werden zunächst die schon aus früheren Arbeiten des Herrn Verfassers bekannten Eigenschaften der m-n-deutigen rationalen Elementarsysteme im Zusammenhange aus der die Beziehung bestimmenden Gleichung F(x, y) =0 abgeleitet, welche in Bezug auf die Parameter x und y vom nen und men Grade ist (vgl. F. d. M. IV. 267, V. 383, VI. 358). Darauf werden zwei einförmige m-n-deutige Punktsysteme auf einem Kegelschnitt als ihrem gemeinschaftlichen Träger angenommen, und wird mit Hülfe der vorher angeführten allgemeineren Sätze, die durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte bestimmte Enveloppe untersucht, welche die Leitcurve der beiden Systeme genannt wird. Ihre Klasse wird gefunden gleich m+n, ihre Ordnung 2mn, die

m(m − 1)
2

+

n(n - 1)
2

woraus sich

Zahl ihrer Doppeltangenten durch die Plücker'schen Formeln die Zahlen der übrigen Singularitäten ergeben, unter anderen ihr Geschlecht gleich (m-n) (n-1).

Im zweiten Abschnitte werden dieselben Betrachtungen angewendet auf zwei n-n-deutige symmetrische Systeme, d. i. auf zwei Systeme, deren Beziehungsgleichung in Bezug anf beide Parameter symmetrisch ist, und zwar unter der Voraussetzung, dass beide sich auf einem und demselben Kegelschnitt befinden. Der Herr Verfasser bestimmt ihre Leitcurve als eine allgemeine Curve nter Klasse und n(n-1)ter Ordnung, und schliesst daraus umgekehrt, dass die Punktenpaare, welche durch die Tangenten einer beliebigen Curve n'er Klasse auf einem Kegelschnitt bezeichnet werden, ein symmetrisches Punktsystem len Grades

bilden, und dass jedem Satze über ebene Curven ein analoger über symmetrische Systeme entspreche.

Die gewonnenen Resultate werden insbesondere specialisirt für eine auf einem Kegelschnitt befindliche Involution mten Grades, welche, wie schon früher gezeigt, als ein specielles symmetrisches System (m-1)ten Grades aufgefasst werden kann. Jede Punktgruppe bestimmt ein vollständiges dem Kegelschnitt eingeschriem (m-1) benes m-eck, dessen Seiten Tangenten an die Involu2

tionscurve (m1)ter Klasse sind; auf die Beziehungen dieser beiden Figuren geht die Untersuchung noch weiter ein.

Zwei Elemente y, y', welche einem und demselben Elementa in einem symmetrischen System nen Grades entsprechen, können als einander entsprechende Elemente eines neuen Systems angesehen werden; nun entsprechen dem gewählten yn Elemente x und jedem dieser x ausser y noch n-1 Elemente y', also dem ersten y im Ganzen n(n-1) Elemente y'. Das so erhaltene neue symmetrische System ist also vom n(n-1)ten Grade und heisst das erste abgeleitete; aus ihm kann auf gleiche Weise das zweite abgeleitete vom n(n − 1) [n·(n−1)—1]ten Grade gewonnen werden, u. s. f. Einige Beziehungen des ersten abgeleiteten Systems zum ursprünglichen, sowie die Leitcurve desselben bilden den Gegenstand der ferneren Untersuchung.

Im dritten Abschnitt werden aus dem angedeuteten Gesichtspunkt die bekannten Poncelet'schen Theoreme über Polygone, welche einem Kegelschnitt eingeschrieben und einem anderen umschrieben sind, abgeleitet. Schz..

H. MILINOWSKI. Die harmonischen Mittelpunkte für ein Punktsystem von vier Punkten in Bezug auf einen gegebenen Punkt als Pol. Schlömilch Z. XX. 17-53.

In einer früheren Arbeit (Die Polaren der ebenen Curven 3ler Ordnung mit Doppelpunkten, Pr. d. Gymn. zu Tilsit 1872) hat Herr Milinowski gezeigt, wie man aus Eigenschaften des ebenen Dreiecks rein geometrisch diejenigen der harmonischen Mittel

Fortschr. d. Math. VII. 2.

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punkte 1ten und 2ten Grades finden kann, wodurch dann der Weg zur Polarentheorie der Curven 3ter Ordnung gebahnt ist.

Er nimmt nun dieselbe Untersuchung für den 4ten Grad vor und giebt zunächst einen planimetrischen und einen stereometrischen Beweis des Satzes, dass die vier Polaren (Harmonicalen) eines Punktes P in Bezug auf die 4 Dreiseite, aus denen ein vollständiges Vierseit abcd besteht, je die vierte Seite in vier Punkten treffen, die in einer geraden Linie liegen (Cayley, Crelle's J. XXXIV. 274; Cremona Introduzione No. 76). Diese Gerade nennt er die dritte oder gerade Polare von P in Bezug auf (abcd); er findet für jede Gerade drei Pole, und führt die Curve 3ter Ordnung, welche der Ort dieser Pole für alle Geraden eines Büschels P ist, als erste oder cubische Polare des Punktes P ein. Unter Voraussetzung der Polarentheorie für cubische Curven wird gezeigt, dass die gerade und die cubische Polare eines Punktes P bezüglich (abcd) in der Beziehung stehen, dass die erstere auch die gerade Polare von P bezüglich der letzteren ist. Conische Polare von P bezüglich (abcd) ist dann diejenige von P in Bezug auf dessen cubische Polare. Hieraus ergeben sich die weiteren Gebilde der Polarentheorie für die specielle Curve 4ter Ordnung (abcd) und ihre Beziehungen.

Den Schluss bildet der Beweis des Satzes, dass, wenn die vier Seiten von abcd sich um feste Punkte MNOP einer Geraden g drehen, die Schnitte derselben mit der geraden, conischen und cubischen Polare eines fünften Punktes V auf g bezüglich des Vierseits von der Veränderung desselben nicht afficirt werden; wodurch die Begriffe der harmonischen Mittelpunkte 1'en, 2ten, 3ten Grades eines Punktes einer Geraden in Bezug auf vier andere Punkte derselben rein geometrisch gewonnen sind. Als Beweismethode benutzt der Verfasser mehrere Male das Verfahren, einen Satz zuerst für einen speciellen Fall, und dann mit dessen Hülfe vermittelst der daraus sich ergebenden Identität gewisser Curven allgemein darzuthun; so wird auch der planimetrische Beweis des Satzes geführt, welcher den Ausgangspunkt bildet. Gegenüber der Leichtigkeit, mit der die analytische Geometrie diesen interessanten Satz findet, bleibt ein einfacherer und durch

sichtiger Beweis desselben sehr erwünscht; ausserdem wäre eine Figur angenehm.

Bei den Verwandtschaften, welche in mehreren Beweisen benutzt werden, wäre doch noch mehr hervorzuheben, wie und weshalb sich die Punkte der Systeme entsprechen. Auch an ein paar anderen Stellen (No. 54, 55, 57, 61) schien der Beweis dem Referenten noch nicht genügend. Sm.

C. ANDRÉJEFF. Ueber die geometrische Erzeugung ebener Curven. Anz. v. Kharkoff 1875. III. (Russisch).

Die vom Verfasser angewandte Methode ist im Grunde den Methoden von Weyr (Theorie der mehrdeutigen geometrischen Elementargebilde, Leipzig 1869, siehe F. d. M. II. p. 528) und Schröter (Ueber eine besondere Curve dritter Ordnung und eine einfache Erzeugungsart der allgemeinen Curve dritter Ordnung, Clebsch Ann. V., siehe F. d. M. IV. p. 281) analog, unterscheidet sich jedoch von denselben durch grössere Allgemeinheit und grössere Unabhängigkeit von analytischen Betrachtungen. Die Curven, zu deren Untersuchung der Verfasser durch seine Methode gelangt, sind die Curven dritter Ordnung und diejenigen von der vierten Ordnung, welche zwei Doppelpunkte besitzen.

P.

L. SALTEL. Sur la génération des cycliques et cyclides. Seconde note pour la génération des cycliques.

Bull. S. M. F. III. 95-100.

Nach einigen vorbereitenden Lehrsätzen theilt der Verfasser für die ebenen und sphärischen cyclischen Curven und für die cyclidischen Flächen vierter Ordnung dem Principe nach sehr ähnliche Entstehungsweisen mit. Die ebenen cyclischen Curven sind bicirculare Curven vierter Ordnung, die sphärischen Cycliken sind die Schnittcurven einer Oberfläche zweiter Ordnung und einer Kugel, die Cycliden sind Flächen vierten Grades, welche den unendlich entfernten Kugelkreis zur Doppellinie haben und