seitigen Beziehungen stehen, welche für den Fall, dass O der Schwerpunkt, der Höhenpunkt, das In- und Umkreiscentrum ist, mitgetheilt werden.

T. T. WILKINSON, A. B. EVANS.

(4334). Educ. Times XXIV. 26-27.

Schl.

Solution of a question

Wenn l, m, n die Seitenhalbirenden eines Dreiecks sind, so

ist der Inhalt

=

{(213m2 +213n2 + 2m3n3 — l1 — m1 — n1)}.

0.

F. STORDEUR. Solution d'une question. Nouv. Ann. (2) XIV.

470-471.

Im Innern eines Dreiecks ABC wird ein Punkt O so bestimmt, dass wenn man von ihm die Lothe OA', OB', OC' auf die Seiten fällt, der Inhalt des Dreiecks A'B'C' ein Maximum ist.

0.

Weitere Aufgaben und Lehrsätze über das Dreieck von E. RUTTER, W. J. GREENFIELD, R. TUCKER, T. J. SANDERSON, C. LEUDESDORF, C. G. COLSON, S. A. RENSHAW, R. W. GENESE, W. HOPPS, W. J. C. MILLER, W. H. H. HUDSON, N'IMPORTE, F. D. THOMSON, N. SARKAR, C. B. S. CAVALLIN, J. S. JENKINS, J. J. Walker, H. MURPHY finden sich Educ. Times XXIII. 29, 61, 68, 89, 97, 99, 102, 106; XXIV. 40, 48, 64, 65, 99, 112.

0.

H. LEZ. Solution d'une question (1172). Nouv. Ann. (2)

XIV. 465-468.

Bezeichnet man mit a, b, c die Seiten, mit S die Fläche eines Dreiecks ABC, mit R den Radius des umschriebenen Kreises, mit 2p' den Umfang des Dreiecks, welches von den ABC einbeschriebenen den kleinsten Umfang hat, so wird erstens das

Dreieck ABC aus 2p' und den Winkeln A, B, C construirt, zweitens bewiesen, dass Sp'R.

0.

J. NEUBERG. Sur le cercle des neuf points. N. C. M. I.

160-161.

Beweis eines Satzes von Brocart aus den Nouv. Ann. (2) XIII. p. 218. Der Satz heisst dort: „Durch die Ecken A, B, C eines Dreiecks, welches einem Kreise einbeschrieben ist, ziehe man Parallelen zu den gegenüberliegenden Seiten. Sie mögen den Kreis in den Punkten A', B', C' schneiden. Man verlängere die Sehnen A'B', A'C', B'C', so dass sie die Seiten resp. in den Punkten a, b, c schneiden. Dann ist der Mittelpunkt des gegebenen Kreises der Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks abc."

Mn. (0.)

MEYL. Solution d'une question. Nouv. Ann. (2) XIV. 130-132. Elementarer Beweis des in voriger Arbeit von Neuberg aus

gesprochenen Satzes.

0.

H. M. TAYLOR. A geometrical problem. Messenger (2) V.

163-165.

Die Seite eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Winkelpunkte auf jedem von 3 concentrischen Kreisen liegen, ist:

{{ (a2 + b2 + c2± √3 √2a2b2 +2b3c2 + 2c*a*—a—b* — c1)}†, wo a, b, c die Radien der Kreise sind. Es folgt ferner als nothwendig, dass a, b, c ein Dreieck bilden können.

Glr. (0.)

K. ZAHRADNICK. Aufgabe über berührende Kreise.

Gruuert Arch. LVII, 327-328.

Der Verfasser berechnet die Radien der 4 Gruppen von je

drei Kreisen, welche die drei Ecken des Dreiecks zu Centren haben, und sich gegenseitig berühren, ohne dabei zu erwähnen, dass diese 12 Radien die 12 Abschnitte sind, welche die Berührungspunkte der 4 Berührungskreise zu den Seiten des Dreiecks auf diesen Seiten bestimmen.

Scht.

T. J. SANDERSON, E. RUTTER, R. TUCKER, J. DAVIS, C. LEUDESDorf. Solution of a question. Educ. Times

XXIII. 36-37.

Wenn ein Parallelogramm DEFG einem Dreieck ABC mit gegebener Basis BC (GF liegt in BC) eingeschrieben ist, und O der Schnittpunkt des Diagonalen des Parallelogramms DEFG, S der Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes BDEC ist, P endlich die 3te Ecke des dem Dreieck GOF ähnlichen Dreiecks PCB ist, so liegen O, S und P in einer Geraden.

0.

J. H. JURRELL, J. P. STOWELL, E. B. SEITZ, E. W. HYDE. Geometrical problems. Analyst II. 71-77.

1) Theilung eines Quadrates in eine Anzahl gleicher Quadrate. 2) Bestimmung der Radien dreier Kreise, welche in ein Dreieck so beschrieben sind, dass jeder die beiden andern und zwei Seiten des Dreiecks berührt. 3) Gegeben vier Punkte (von denen keiner in dem von den drei andern gebildeten Dreiecke liegt): zu construiren den Brennpunkt und die Axe der Parabel, die durch sie geht; u. s. w.

Glr. (0.)

L. SANCERY. Propriétés des quadrilatères complets qui ressortent de la considération de leurs bissectrices. Nouv. Ann. (2) XIV. 145-165.

Ist ABCD ein beliebiges convexes Viereck, und sind A, B, C, D, E, F die Ecken des aus ersterem abgeleiteten vollstän

digen Vierseits, so werden diejenigen Winkel an den Ecken, welche das Innere von ABCD enthalten, innere Winkel, deren Supplemente äussere Winkel genannt. Alsdann bilden die Schnittpunkte P, Q, T der Halbirungslinien der inneren Winkel je zweier Gegenecken und die Schnittpunkte R, S, V der Halbirungslinien der äusseren Winkel je zweier Gegenecken ein vollständiges Vierseit; ebenso bilden auch die Schnittpunkte HIKLGJ der Halbirungslinien je eines inneren Winkels und des äusseren Winkels seiner Gegenecke ein vollständiges Vierseit. Die Beziehungen dieser drei vollständigen Vierseite zu einander bilden nun den ersten Theil der Untersuchung; unter Anderem die Sätze: Auf jeder Seite eines dieser Vierseite schneiden sich in vier verschiedenen Gruppen je zwei Seiten der beiden anderen, nebst einem entsprechenden Satze über die Diagonalen; Die drei Diagonaldreiecke sind ähnlich und homolog, das Centrum der Homologie ist der Höhenschnittpunkt des ursprünglichen Diagonaldreiecks. Die übrigen Schnittpunkte der Halbirungslinien der Winkel in den vier Ecken A, B, C, D ordnen sich auf achtfache Weise zu je vieren als Kreisvierecke und sind selbst die Centra der 16 Kreise, welche je drei der Seiten des gegebenen Vierseits berühren. Diese Kreise in Verbindung mit denjenigen, welche die Diagonalen obiger drei Vierseite zu Durchmessern haben, bilden den zweiten Theil der Untersuchung, insbesondere unter der Voraussetzung, dass auch die Ecken ABCD auf einem Kreise liegen; es werden z. B. Beziehungen angegeben, welche zwischen ihren Radien, zwischen den Entfernungen ihrer Mittelpunkte von einander und von der nicht berührten Vierecksseite bestehen. Schz.

Weitere Aufgaben und Lehrsätze über das Viereck von E. B. ELLIOT, S. ROBERTS, J. F. WILSON, C. LEUDESDORF, E. RUTTER, R. TUCKER, W. HOPPS, H. MURPHY, A. P. SHEPHERD finden sich Educ. Times XXIII. 59, XXIV. 35, 36.

96;

F. FERRON.

Mémoire sur le calcul et la construction

des polygones réguliers. Luxemburg. 1874. 8°.

P. MANSION. Extrait de ce mémoire. N. C. M. I. 89-90.

Construction des Fünf- und Zehnecks mittelst einer Methode, die von der Euklid's verschieden ist. Berechnung der Seiten der regelmässigen Polygone mit Hülfe der Coordinaten der Ecken. Mn. (0.)

S. A. RENSHAW, R. W. GENESE, R. F. DAVIS, H. MURPHY, E. RUTTER. Solution of a question (4660). Educ. Times

XXIV. 71-73.

Ein Kreis berührt einen andern von Innen. Durch ihren Berührungspunkt geht ein dritter, dessen Radius die mittlere Proportionale zwischen den Radien der beiden andern ist. Die Schnittpunkte mit demselben liegen dann auf einer Geraden, die ihrer gemeinsamen Tangente parallel ist.

0.

W. VOLLHERING. Erweiterter Begriff der inneren Kreispolare, Polarflächen. Pr. Löwenberg i. Schl.

2

Ist P der Diagonalenschnittpunkt eines Rechteckes T‚ÂT ̧T ̧ und construirt man die vier Kreise, welche die Diagonalen desselben in je zwei aufeinanderfolgenden Vierecksecken berühren, so ist jede der vier Rechteckseiten die Polare des Punktes P in Bezug auf je einen dieser vier Kreise. In dieser Zusammenstellung dieser vier Polaren desselben Punktes in Bezug auf vier verschiedene Kreise zu einem Rechteck scheint der Herr Verfasser die in der Ueberschrift bezeichnete Erweiterung des Polarenbegriffes zu finden. Die ausserhalb des entsprechenden Kreises liegenden Theile der Polaren bleiben bei dieser „Erweiterung" ganz ausser Betracht. Die erwähnten Polarflächen entstehen durch Drehung dieser Figur um eine seiner durch P gehenden Centralen oder durch parallele Verschiebung in der zur ursprünglichen Ebene senkrechten Richtung. Die angegebenen

Fortschr. d. Math. VII. 2.

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