Siebenter Abschnitt.

Functionentheorie.

Capitel 1.

Allgemein e s.

S. DICKSTEIN und K. HERTZ. Theorie der complexen Zahlen und ihrer Functionen. Erster Theil. Denkschr. d. P. G. VII. (Polnisch.)

Der erste Theil enthält eine Darstellung der Hankel'schen Theorie der Operationen, die Theorie der Zahlensysteme und der complexen Zahlen, nebst einigen Anwendungen.

Bcki.

A. BENTHEM. Theorie der functien van veranderlyke complexe getallen. Nieuw Arch. I. 124-156.

Die Abhandlung, welche später fortgesetzt werden soll, enthält eine zum Theil veränderte und verallgemeinerte Theorie der complexen Zahlen und deren Functionen. Hierbei schliesst sich der Verfasser den bekannten Theorien von Matzka und Scheffler an.

G.

M. MARIE. Théorie des fonctions de variables imaginaires. Tome I. Nouv. Ann. (2) XIV. 40-44.

Kurze Inhaltsangabe des erschienenen ersten Theils eines Werkes, in welchem Herr Marie sein neues System der analyti

Fortschr. d. Math. VII. 1.

16

schen Geometrie, wie er es in verschiedenen, auch in diesem Jahrbuch besprochenen Abhandlungen entwickelt hat, im Zusammenhange darstellt. Es beruht im Wesentlichen auf einer eigenthümlichen Darstellung der imaginären Lösungen der Gleichungen zwischen zwei und drei Variabeln. (Siehe F. d. M. IV. 197 ff. V. 222.) Hr.

BRIOT et BOUQUET.

Théorie des fonctions elliptiques.

2ième éd. Paris. Gauthier-Villars.

Siehe Abschnitt VII. Cap. 2 p. 262.

G. MITTAG-LEFFLER. Några Följdsatser ur Cauchys theo

rem om rötter. Ofv. v. Stockh. 1874.

Auf das Theorem von Cauchy über die Anzahl der Wurzeln innerhalb eines geschlossenen Bereichs stützt der Verfasser seine Beweise für zwei bekannte wichtige Sätze.

Der erste ist der von Cauchy (Exercices d'Analyse III.) zuerst ausgesprochene über die Anzahl (mindestens 1, höchstens n) der w-Werthe, die mit b kontinuirlich verbunden sind, wenn w durch die Gleichung f(z, w) = 0 definirt und bein Nullwerth nter Ordnung ist.

Der zweite ist der Riemann'sche Satz über die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Bestimmung einer Function.

Bg.

G. MITTAG-LEFFLER. Beweis für den Cauchy'schen Satz.

Gött. Nachr. 1875. 65-73.

Beweis des Satzes, dass das geschlossene Integral um eine Fläche, innerhalb welcher die Function synectisch ist, verschwindet. Der hierbei gebrauchte Hülfssatz und der Grenzübergang scheinen jedenfalls eines Beweises bedürftig, worüber jede Andeutung fehlt.

St.

M. NOTHER. Ueber die singulären Werthsysteme einer algebraischen Function und die singulären Punkte einer algebraischen Curve. Clebsch Ann. IX. 166-182.

=

In weiterer Ausführung einer früher (Gött. Nachr. 1871 p. 267, siehe F. d. M. III. 193) veröffentlichten Note zeigt der Verfasser, wie man die Singularität eines Punktes einer Curve untersuchen kann, indem man die Curve durch eine eindeutige Transformation umformt. Sind x = a, y = b die Coordinaten des Punktes, so setzt man am einfachsten y b (x-a)y, und erhält dann eine neue Gleichung zwischen x und und y,, deren Singularitäten man auf dieselbe Art untersucht, u. s. w. Man kommt so zu dem Satze, dass ein k-facher Punkt von beliebiger Singularität betrachtet werden kann als Grenzfall eines allgemeinen k-fachen Punktes, zu dem eine Anzahl von Verzweigungspunkten treten, und an den eine Reihe von andern vielfachen Punkten unendlich nahe heranrücken. Der Nachweis, dass durch die angegebenen Transformationen auch wirklich eine Auflösung des vielfachen Punktes bewirkt wird, geschieht durch Betrachtung der Discriminante von f(x, y) in Bezug auf y.

Von den gefundenen Resultaten wird eine Anwendung gemacht auf die Bestimmung der Klassenzahl einer Curve, deren Ergebniss ist, dass die Klasse sich so berechnet, als ob die in einem singulären Punkte vereinigten vielfachen Punkte getrennt lägen, während jeder noch mit enthaltene Verzweigungspunkt die Klasse um 1 erniedrigt. Nach dem Beweis des Satzes, dass das Geschlecht der Curve bei eindeutigen Transformationen invariant ist, wird endlich noch die Zahl der Doppel- und Rückkehrpunkte bestimmt, die den Singularitäten der gegebenen Curven aequivalent sind.

Lth.

G. DARBOUX. Mémoire sur les fonctions discontinues. Ann. de l'Éc. Norm, (2) IV. 57-112.

Nach einigen einleitenden Bemerkungen über den Functionsbegriff und die Stetigkeit begründet Herr Darboux die Riemann'sche

Definition des bestimmten Integrals. Seine Entwickelung trifft Schritt für Schritt zusammen mit derjenigen, welche Herr P. du Bois-Reymond in der Recension über Thomae's Theorie der bestimmten Integrale" (siehe oben p. 153) giebt.

Als Ausgangspunkt dient derselben der neue Satz von hervorragendem Interesse: „Es sei f(x) für alle Werthe des endlichen Intervalles (a, b) eindeutig definirt und zwischen endlichen Grenzen enthalten. Theilt man das Intervall b a in n Theile

n

♪1, d2..... d, und bildet die Summen E, M, dr, Erm, dr, Er4rdr,

19 2

r

1

...

1

r

1

wo M, die obere, m, die untere Grenze, 4, die grösste Schwankung M,-m, von f(x) in dem Intervalle x = a+ 8, + ··· + 8,-1 bis xa+8, + ··· +8,-1 +d, bezeichnet, so existiren für diese Summen endliche Grenzwerthe für limd, = 0". Diese Grenzwerthe =0". hängen nur von der Natur der Function f(x) und dem Intervalle (a,b) ab. Die willkürlichen Functionen, die nur der Bedingung der Endlichkeit unterworfen sind, zerfallen nun in zwei Klassen, je nachdem lim Σr 4, 8, verschwindet oder nicht. Die erstere um

fasst die integrirbaren, die zweite die nicht-integrirbaren Functionen. Die nothwendige und hinreichende Bedingung für das Nullwerden des genannten Grenzwerthes hat bekanntlich schon Riemann angegeben.

Nun wendet sich der Herr Verfasser zur Theorie der Reihen, deren Glieder von einer Veränderlichen x abhängen. Die Convergenz in gleichem Grade durch das Intervall a≤x≤b bedingt die Stetigkeit von f(x) = Σn(x), wenn die q(x) selbst stetige Functionen von x sind; sie gestattet den Schluss

wenn Grenzwerthe (x +0) und ¶n(x-0) existiren; sie erlaubt endlich die Integration von f(x) über das genannte Intervall, wenn die f(x) selbst integrabel sind. Das Integral von f(x) ist dann gleich der Summe der Integrale der Glieder. Man findet hier das seltene Beispiel einer Reihe, nämlich

Σn { −2n2 xe¬n2x2 + 2 (n + 1)2 xe−(n+1)2x2 } = -2xe-x3,

1

welche, im Intervalle 0 bis a stetig, aber wegen der unteren

Grenze nicht gleichmässig convergent, durch gliedweise Integration ein Resultat liefert, das von dem Integrale der Function verschieden ist. Es folgen noch zwei Sätze über die Ableitung und drei über die Stetigkeit einer durch eine Reihe dargestellten Function.

Die Theorie der Reihen führt zur Bildung einer Menge von stetigen Functionen, die für unendlich viele Werthe der Veränderlichen in jedem auch noch so kleinen Intervalle keine vollständigen Differentialquotienten besitzen. Man gelangt dazu zunächst durch den Satz, dass jede Function, welche die Eigenschaft hat, dass für jeden Werth von r im endlichen Intervalle (a, b) endliche Grenzwerthe f(x+0) und f(x −()) existiren, über dieses Intervall integrirbar ist." Integrirt man eine unstetige Function, welche die eben erwähnte Eigenschaft besitzt, so findet man demnach eine stetige Function von der bezeichneten Art. Z. B. die unendliche Reihe

wo (x) den Ueberschuss von x über die nächste ganze Zahl und (n+1)=0 bedeutet, ist für alle rationalen x von der Form

P unstetig, indem f(x−0) und f(x+0) von einander abweichen. 2q

Die Summe der Integrale der Glieder, welche das Integral der Function ist:

[nx]2 n n1+s

=

stellt somit eine stetige Function dar, für welche der vor- und rückwärts gerichtete Differentialquotient in den eben genannten Punkten von einander verschieden sind. (Dabei ist [x] für alle x, die nicht gleich einer ganzen Zahl +; dagegen [n + } ]

=

(x)

Man erhält übrigens solche Functionen auch direct, d. i. ohne eine Integration vorzunehmen. Es sei q(x) eine stetige Function, immer unterhalb Ax+ B gelegen, (A, B positiv), welche für alle Werthe von x, ausser den ganzzahligen eine Ableitung besitzt, während für an der vor- und rückwärts gerichtete Differentialquotient von einander verschieden sind. Dann stellt die Reihe