Man bezeichne mit () die Function, in welche die geben. Substitution die Grösse x1 welche die inverse Substitution x ) die Function, in die Grösse transformirt. Sind nun O,,... Dan-29-1 ein System (6) O,... (Pqhq, D) = 0, Στ -29-1 ein System Lösungen von (p-Σxtx hk, 0) = 0 = (p—h, P). Giebt man dagegen eine beliebige Lösung der letzten Gleichung, so ist die Grösse (x) im Allgemeinen keine Lösung von (5). Sind jedoch T,... 2n-29-1 ein System Lösungen von (6), die durch die Substitution, a1,... xq aq die Werthe = annehmen, so sind T,... Tin-29-1 ein System Lösungen von (5). Hiermit ist die Integration des Gleichungssystems =0 P1—h1 = 0,... Pq — hq = 0 auf diejenige der Gleichung p-h=0 reducirt. Vermöge dieses Satzes kann die Integration einer vorgelegten Gleichung zwischen n Variabeln pn-h2 = 0, nachdem eine Lösung von gefunden ist, auf diejenige einer Gleichung zwischen n-1 Variabeln zurückgeführt werden. In derselben Weise reducirt man diese neue Gleichung auf eine mit nur n-2 Variabeln u. s. w. Dies ist diejenige einfache Integrations - Methode, die der Verfasser im Jahre 1872 veröffentlichte. Gleichzeitig fand Mayer durch eine ganz andere Methode entsprechende Integrations-Vereinfachungen. L. A. MAYER. Ueber eine Erweiterung der Lie'schen Integrationsmethode. Clebsch Ann. VIII. 313-318. Das Fundamentaltheorem, welches der Lie'schen Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen 1ter Ordnung, wie dieselbe in Clebsch Ann. VI. p. 162 dargestellt worden ist, zu Grunde liegt, kann folgendermassen ausgesprochen werden: Die vollständige Integration der gegebenen partiellen Differentialgleichung 1ter Ordnung mit n unabhängigen Variabeln lässt sich auf die vollständige Integration einer partiellen Differentialgleichung 1ter Ordnung mit nur noch n-m unabhängigen Variabeln zurückführen, sobald man zu der gegebenen Function H, andere m Functionen H,,... Hm+1 der 2n Variabeln q und p hinzugefunden hat, welche den bekannten Bedingungen identisch genügen und von einander wie von H1 unabhängig sind in Bezug auf die Differentialquotienten p der unbekannten Function. Nun giebt es zwar eine ganze Reihe von Methoden, welche lehren, wie man unabhängige Functionen finden kann, welche paarweise mit einander und mit H, verbunden die Bedingungen (H; Hk) = 0) erfüllen. Aber bei keiner von diesen Methoden ist man a priori sicher, dass die Functionen, zu denen man schliesslich gelangt, auch wirklich grade in Bezug auf die Variabeln p von einander unabhängig sind. Daher war es eine wichtige Aufgabe, zu zeigen, dass diese Forderung der Unabhängigkeit hinsichtlich der p überflüssig ist, und dass der obige Satz auch dann noch richtig bleibt, wenn die Functionen H,, H,,... Hm+1 nur überhaupt von einander unabhängig sind. Die Lösung dieser Aufgabe gelingt in der vorliegenden Note dadurch, dass in dem Ausnahmefalle, wo die Functionen H in Betreff der p von einander abhängig sind, eine bestimmte Berührungs-Transformation zu Hülfe genommen wird. Eine andere und einfachere Lōsung des Problems hat später Lie in Clebsch Ann. IX. p. 295 (siehe oben) gegeben. Mr. A. V. BACKLUND. Einiges über Curven- und FlächenTransformationen. Lund, Årsskr. X. A. V. BACKLUND. Ueber Flächentransformationen. Clebsch Ann. IX. 297-320. Bekanntlich hat Lie in die Theorie der Differentialgleichungen den Begriff der Berührungstransformationen eingeführt; es sind dies solche Transformationen, bei denen sich die neuen Variablen und ihre ersten Differentialquotienten als Functionen darstellen lassen der alten Variablen und der auf sie bezüglichen ersten Differentialquotienten, bei denen daher, geometrisch zu reden, Berührung zweier Mannigfaltigkeiten eine invariante Eigenthümlichkeit ist. Der Verfasser wirft die Frage auf, ob es nicht noch Klassen höherer Transformationen giebt, bei denen erst Osculation, oder allgemein „Berührung nter Ordnung" etwas Unveränderliches ist, und weist nach, dass solche Transformationen nicht existiren, dass sie alle auf die Lie'schen Berührungstransformationen zurückkommen, sofern man an der Forderung festhält, dass jeder Mannigfaltigkeit des einen Raumes nur eine Mannigfaltigkeit des anderen Raumes (oder eine discrete Zahl solcher Mannigfaltigkeiten) entsprechen soll. Inzwischen scheint es nach den Schlussbemerkungen des Verfassers, dass eben auch diejenigen Transformationen, welche nicht eindeutig, sondern unendlich vieldeutig sind, ein Interesse haben, indem sie z. B. auf die Theorie der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung ein neues Licht werfen. Kln. A. MAYER. Directe Begründung der Theorie der Berührungstransformationen. Clebsch Ann. VIII. 304-312. Ist im Wesentlichen nur eine Reproduction des Aufsatzes „Ueber die Lie'schen Berührungstransformationen" Gött. Nachr. 1874 (vgl. F. d. M. VI. p. 220). Mr. SOPHUS LIE. Discussion aller Integrationsmethoden der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Forh. Christ. 1875. 16-35. Bei allen bisherigen Integrationsmethoden der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung stellt man successiv gewisse vollständige Systeme auf und sucht entweder alle oder auch nur eine einzige Lösung eines jeden Hülfssystems. Das erste Hülfssystem enthält bei allen bisherigen Methoden nur die Grössen XX, P1, Pn als Variabele. Dabei steht es zu der vorgelegten Gleichung in einer durch Berührungstransformationen invarianten Beziehung. Indem nun der Verfasser die Hypothese macht, dass dieser Umstand nicht zufällig ist, sondern dem Wesen der Sache entspricht, gelingt es ihm, nachzuweisen, dass keine Methode sich mit einfacheren Integrationsoperationen begnügen kann, als die beiden Methoden, die Mayer und der Verfasser gleichzeitig und unabhängig von einander im Jahre 1872 veröffentlicht haben. L. G. PITTARELLI. Su di una equazione differenziale di primo ordine a un numero qualunque di variabili. Battaglini G. XIII. 323-327. Verallgemeinerung der Jacobi'schen Differentialgleichung. (Vgl. Hesse, Geometrie des Raumes. 1869, p. 94). St. H. W. L. JANNER. On the elimination of two arbitrary functions. Messenger (2) VI. 98-100. In der Gleichung F(x, y, z, q(u), Y(v)) =0 seien und o functionale Symbole und u, v Functionen von x, y, z. Bildet man so hat man mit der ursprünglichen sechs Gleichungen. Der Verfasser untersucht, unter welchen Bedingungen man q(u),¥(v), g'(u), y'(v), q'(u), "(v) aus diesen sechs Gleichungen eliminiren kann. Glr. (0.) H. W. L. JANNER. On the solution of linear differential equations of the second order. Messenger (2) VI. 53-71. Die Arbeit bezieht sich auf Differentialgleichungen von der Form Rr+2Ss+Tt + V = 0. Der Verfasser untersucht, in welchen Fällen seine Gleichung eine Lösung mit zwei willkürlichen Functionen zulässt und bestimmt sie, wo es möglich ist. Die Form der Lösung ist F{x, y, z, p(u), 4, (u) .......Y(v), Y, (v) ..... } = 0, wo und willkürliche Functionen sind und .(u) geschrieben ist für (d)4(u). u und v, die Argumente der willkürlichen Functionen, sind Functionen von x, y, z. Einige Beispiele, wie Laplace's Gleichung d'u d'u (1— μ3)3. + -2μ(1-μ3) +n(n+-1) (1 —μ3)μ = 0, du' dq' du du r - a'y2 =0 ar+2bs+ct+ + sowie einige andere werden betrachtet. ep+fq 93 = 0, Glr. (0.) R. MOON. Solution of a question (4628). Educ. Times XXIV. wo a, ß,y Functionen von x und y allein sind, so ist die noth wendige und hinreichende Bedingung, welche die Coefficienten |