bedeutet und R,, R, aus zwei von den drei Gleichungen

deren Coefficienten gegebene Functionen von xy; und von den ersten und zweiten partiellen Differentialquotienten von sind.

Die Charakteristik d deutet hier, wie im Folgenden, immer eine solche Differentiation an, bei der alle von x, resp. von y abhängigen Grössen, mit Ausnahme allein der zweiten Differentialquotienten r, s, t als variabel betrachtet werden.

2) Besitzt die cubische Gleichung (2) drei verschiedene Wurzeln und lässt für jede dieser Wurzeln das System (1) eine Lösung zu, so besitzen die mit diesen drei Lösungen f1ff, gebildeten drei ersten Integrale der Gleichung (3)

eine gemeinsame Lösung mit drei willkürlichen Constanten, die also zugleich eine Lösung mit sechs willkürlichen Constanten der gegebenen Gleichung (3) ist, und man erhält diese Lösung durch Integration desjenigen unbeschränkt integrablen Systems, welches durch Substitution der aus den Gleichungen (4) folgenden Werthe von r, s, t in die Gleichungen:

3) Besitzt die Gleichung (2) wenigstens zwei verschiedene Wurzeln und kennt man für jede dieser beiden Wurzeln eine

Lösung des Systemes (1), so bedarf man nur noch der Auffindung irgend einer in Bezug auf rst von diesen beiden Lösungen unabhängigen Lösung einer linearen partiellen Differentialgleichung 1ter Ordnung, um in derselben Weise, wie in (2) zu einer Lösung der Gleichung (3) mit wenigstens 6 willkürlichen Constanten gelangen zu können.

Indem man den letzten Satz auf diejenige lineare partielle Differentialgleichung 3ter Ordnung anwendet, die man durch lineare Combination der beiden durch Differentiation nach x und y aus einer gegebenen Gleichung 2ter Ordnung

(5) F(xyzpqrst) = const.

entstehenden Gleichungen erhält, gelangt man endlich zu dem folgenden Satze:

4) Besitzen für irgend eine Wurzel m der quadratischen

eine von F unabhängige gemeinsame Lösung f, so kann man durch Integration einer linearen partiellen Differentialgleichung 1ter Ordnung und eines Systems von 3 gewöhnlichen Differentialgleichungen zu einer Lösung der gegebenen Gleichung (5) gelangen, welche eine willkürliche Function und ausserdem 5 willkürliche Constanten enthält.

Noch bleibt übrig zu bemerken, dass, nur weniger klar hervortretend, den Falk'schen Untersuchungen doch wesentlich derselbe Gedanke zu Grunde liegt, von dem auch Picart (F. d. M. VI. p. 223) ausgeht, der jedoch, worauf der Falk'sche Aufsatz keinen Anspruch macht, hierdurch zu einer allgemeinen Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen beliebiger Ordnung gelangt sein will.

Mr.

M. FALK.

Om partiela differentialeqvationer af högre ordning än första. Upsala 1875. Edquist.

Das Vorliegende ist eine Reihe von 4 Aufsätzen: 1) über Monge's partielle Differentialgleichung 2ter Ordnung mit 2 Unabhängigen, 2) partielle lineare Differentialgleichungen nter Ordnung mit 2 Unabhängigen, 3) nicht lineare partielle Differentialgleichungen, 4) partielle Differentialgleichungen 2ter Ordnung mit n Unabhängigen. Die gleichen Resultate hat der Verfasser schon in 2 früheren Abhandlungen in Nov. Act. Ups. und Tidskrift för Matematik och Fysik auf anderem Wege gewonnen (siehe das vorhergehende Referat).

Monge's Gleichung

(1) Rr Ss Tt = V,

wo R, S, T, V gegebene Functionen der Unabhängigen x, y, der gesuchten Functionz und ihrer Ableitungen p, q, und wo

Sind u = a, vb erste Integrale dieser Gleichungen, so ist das erste Integral der Gleichung (1):

(7) F(u, v) = 0,

und es wird bewiesen, dass die Function F willkürlich ist. Hat die Gleichung (8) zwei ungleiche Wurzeln, und man findet ein Integral analog (7) entsprechend der zweiten Wurzel, so haben beide die Eigenschaft, dass sie als simultan betrachtet Werthe für p, q in x, y, z ergeben, welche der Bedingung

་

(2) дъ =рдх+уду

genügen, so dass man leicht das vollständige Integral erhält. Dies wird gleichfalls bewiesen, und 2 Beispiele vollständiger Lösung aufgestellt.

Der zweite Aufsatz verallgemeinert den ersten und zeigt, dass man die Gleichung

wo die U und V von x, y, z und den Derivationen niederer Ordnung abhängen, analog und mit gleichem Erfolge behandeln kann. Hier wird die Integration der Gleichungen

bestimmt sind, durch 2 Gleichungen pa, y = ẞ als bekannt vorausgesetzt. Es wird dann F(4, 4) Es wird dann F(p, y) = 0 für willkürliches F ein erstes Integral der gegebenen Gleichung; und hat man analog die n ersten Integrale gefunden und aus ihnen die Werthe der Derivationen (n−1)ter Ordnung entwickelt, so genügen diese den Bedingungen der Differentiale der Derivationen (n-2)ter Ordnung, und man findet durch wiederholte Integration schliesslich. Das Verfahren reicht nur dann nicht aus, wenn irgend welche ersten Integrale identisch werden, d. i. wenn die Gleichung

i=n

(-1) U; m"-i 0

gleiche Wurzeln hat.

i=0

Ist die gegebene Gleichung nicht linear in Bezug auf die Derivationen höchster Ordnung, so kann man sie durch einmalige partielle Differentiation auf die im Vorigen behandelte Form bringen. Der dritte Aufsatz entwickelt dazu die Formeln für 2 besondere Fälle.

Ein ähnliches Verfahren wendet der Verfasser im 4ten Aufsatz auf die Gleichungen der Form

an, wo die X und V Functionen von x, y, z und den partiellen Ableitungen 1ter Ordnung sind. Ihre Integration hängt von der des Systems

erfüllt sein. Hat man das System (6) durch

u1 = U2; U q = αq;... Un = An

2

integrirt, so kann das erste Integral von (1) nur von der Form F(u1, u2,... U2) = 0

sein. Es wird bewiesen, dass F willkürlich ist. Mit dem System der μ ist ein System der ୧ durch die Relation

verbunden. Hat man ein erstes Integral, welches ebenso dem entspricht, so genügen stets beide der Bedingung

System der

୧

und man erhält das vollständige Integral z. Es wird schliesslich auf die Methoden von Cauchy und Jacobi hingewiesen, welche in Ermangelung eines zweiten Integrals anzuwenden seien.

H.

S. LIE. Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Clebsch Ann. IX. 245-296.

Nach einer gedrängten Darstellung der von Jacobi und Clebsch herrührenden Theorie vollständiger Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen wird das folgende Problem gestellt.

Problem 1. Man soll alle Gleichungssysteme der Form

Fx(x,... xn P1... Pn) = 0 (k = 1...m)

Pi