CH. MÉRAY. Sur l'existence des intégrales d'un système quelconque d'équations différentielles, comprenant

cas très-restreint les équations dites aux dé

rivées partielles. C. R. LXXX. 389-393.

Die Arbeit, deren Analyse hier vorliegt, handelt von demselben Gegenstand, wie die oben besprochene des Herrn Darboux. Nach Angabe des Verfassers ist sein Verfahren gänzlich verschieden von dem des genannten Mathematikers und giebt vollständigere Resultate. Da der Auszug eine blosse Aufzählung von Sätzen enthält, deren Wortlaut wegen der darin vorkommenden ganz eigenen Terminologie dem Verständniss grosse Schwierigkeit bietet, so bleibt die Besprechung besser für die demnächst erscheinende Arbeit selbst vorbehalten.

Hr.

G. DARBOUX. Sur la première méthode de Jacobi pour l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Darboux Bull. VIII. 249-255. Abgedruckt aus C. R.

LXXIX. 1488-1489 u. LXXX. 160-164.

Die unter dem Namen der Jacobi-Hamilton'schen Integrationsmethode bekannte Regel zur Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung ist mehrfachen Ausnahmen unterworfen und daher wurde in Clebsch Ann. III. p. 435 (s. F. d. M. III. p. 171) vorgeschlagen, dieselbe durch eine andere, aus der Cauchy'schen Methode hervorgehende Regel zu ersetzen. In der vorliegenden Mittheilung zeigt jedoch Herr Darboux, indem er eine auf jede partielle Differentialgleichung erster Ordnung anwendbare Integrationsmethode aufstellt, die sich, wenn kein Ausnahmefall eintritt, auf die alte Jacobi'sche Regel reducirt, dass es, was übrigens auch noch Niemand behauptet hatte, nicht unumgänglich nothwendig ist, die Jacobi-Hamilton'sche Methode gänzlich zu verlassen.

Mr.

P. MANSION. On the singular solution of differential equations of the first order. Rep. Brit. Ass. 1875.

Der Zweck der Arbeit ist, zu zeigen, dass Fälle von Ausnahmen in den singulären Lösungen der Differentialgleichungen erster Ordnung, die von Darboux ausgesprochen sind, keine Ausnahmen sind, wenn die Linie im Unendlichen in Betracht gezogen wird. Csy. (0.)

P. MANSION. Mémoire sur les équations aux dérivées partielles du premier ordre. Paris. Gauthier Villars. Mém, cour. de Belg. XXV.

P. MANSION. Sur la méthode de Cauchy, pour l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre. C. R. LXXXI. 790-793.

Die Arbeit enthält eine zusammenhängende Darstellung der bis zum Jahre 1872 veröffentlichten Untersuchungen von Lagrange, Pfaff, Jacobi, Bour, Clebsch, Korkine, Boole, Mayer, Cauchy, Serret und Lie über partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. Wir geben eine kurze Uebersicht über den Inhalt.

Einleitung. Entstehung der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Diese Einleitung enthält ausser dem, was sich schon in den Werken von Imschenetzky und Graindorge vorfindet, noch die Darstellung von Lie's Ideen über die Erzeugung der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, ferner die Begründung der zweiten Jacobi'schen Transformation (Nova methodus, § 1), die von vielen Autoren angegriffen ist. Auch Mayer und Lie haben kürzlich Jacobi hinsichtlich dieses Punktes vertheidigt (Clebsch Ann. IX. 366-369).

Erstes Buch. Die Lagrange'sche und Pfaff'sche Methode. 1. Lineare Gleichungen. 2. Arbeiten von Lagrange. 3. Erweiterung der Lagrange'schen Methode durch Jacobi. 4. Pfaff'sche Methode, mit den Modificationen von Jacobi. In diesem Theile ist von den Functionaldeterminanten mehr Gebrauch gemacht, als es gewöhnlich zu geschehen pflegt. Die Pfaff'sche Methode ist dabei an die von Lagrange angeknüpft unter Benutzung der ersten Arbeiten von Jacobi, die bisher nicht genügend berücksichtigt waren.

Nach einer brief lichen Mittheilung des Herrn

Mayer an den Verfasser hätte letzterer noch die Dilucidationes von Jacobi (Crelle J. XXIII. 1-104) mit Vortheil benutzen kōnZahlreiche Anwendungen der allgemeinen Theorie, den Schriften von Lagrange und Monge, sowie einigen Arbeiten von Hesse und Schläfli entnommen, sind ebenfalls in dem ersten Buche angegeben.

nen.

Zweites Buch. Die Capitel I., II., III. enthalten die Analyse der Arbeiten von Jacobi (Nova methodus) und Bour. Die verschiedenen Formen der nothwendigen und hinreichenden Integrabilitätsbedingungen sind in sehr systematischer Form gegeben. Ein kleiner Fehler von Bour ist nach Mayer verbessert. Capitel IV. enthält die Methode von Clebsch, die mit Unrecht Weiler zugeschrieben wird. Das Verfahren des Letzteren ist ein anderes (cf. Schlömilch J. XX. 83, 271, Clebsch Ann. IX. 347). Capitel V. Die Methoden von Korkine und Boole. Die Methode von Korkine, die nur in ihren Grundzügen 1868 veröffentlicht ist, ist hier bewiesen. Capitel VI. Methode von Mayer. Dies Capitel enthält nach einer brieflichen Mittheilung von Mayer an den Verfasser einen Fehler.

Drittes Buch. Darstellung der Arbeiten von Cauchy und Serret in neuer Form, sowie der Lie'schen Methode nach Mayer. Dieser Theil des Werkes ist der originellste. Indem der Verfasser die Lie'schen Ideen in die letzte Form der Cauchy'schen Darstellung einführt, kann er alle Untersuchungen der Geometer über die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung an den Fundamentalbegriff der Charakteristik anknüpfen. Speciell gelangt er so sehr leicht auf die hauptsächlichsten Resultate von Serret und die Modificationen der Pfaff'schen Methode von Mayer und Darboux.

Der kurze Anhang, mit dem die Abhandlung schliesst, enthält eine synthetische Darstellung der hauptsächlichsten Methoden mittelst der Lie'schen Ideen. Eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung mit (n+1) Variabeln und die entsprechenden kanonischen Gleichungen repräsentiren danach nämlich die Elemente eines Raumes von (n+1) Dimensionen. Um ein Integral einer partiellen Differentialgleichung erster Ord

nung zu finden, ist es nothwendig und hinreichend, " unendlich wenig von einander verschiedene Elemente zu finden. Von diesem Fundamentaltheorem ausgehend, gelangt man zu einer synthetischen Darstellung der Methoden von Cauchy, Lie und Jacobi, eine Darstellung, welche die innige Verbindung zwischen den Arbeiten aller Geometer über den Gegenstand dieser Arbeit erkennen lässt. Die letzten Arbeiten von Lie konnten in der Darstellung nicht berücksichtigt werden. Es ist nur zum Schluss eine genaue Liste derselben gegeben, zu der jetzt noch eine neue Arbeit aus den Mathematischen Annalen IX. 245-296 hinzuzufügen ist.

Die zweite der oben genannten Arbeiten ist nur eine Uebersicht über den am meisten originalen Theil der grösseren Arbeit (No. 4, 5, 107, 108, 111, 128, 129). Dabei ist die Lie'sche Bezeichnungsweise gebraucht. Mn. (Wn.)

L. BOLTZMANN.

Zur Integration der partiellen Differentialgleichungen 1er Ordnung. Wien. Ber. LXXII.

Dieser Aufsatz bringt eine neue und eigenthümliche Ableitung der Regel, welche Jacobi in Crelle J. XVII. zur Integration der partiellen Differentialgleichungen 1ter Ordnung gegeben hat. Der Verfasser geht von demselben Satze aus, den auch Jacobi in seiner ersten Abhandlung über partielle Differentialgleichungen (Crelle J. II.) angewendet hat, von dem Satze nämlich, dass diejenigen Functionen 3, P1...P, welche den Gleichungen

erfüllen, welche durch n+1 Gleichungen zwischen den Lösun

Fortschr. d. Math. VII. 1.

14

=0

h=n

Σ +

მ; дри дри Jxh

дх integrirt werden; und seinen Betrachtungen liegt der Gedanke zu Grunde, dass, weil die Lösungen sowohl der Gleichungen (1) wie auch der Gleichungen (2) vollständig bestimmt sein müssen, sobald man man ihre Anfangswerthe für einen willkürlichen Anfangswerth einer der unabhängigen Variabeln giebt, die Lösungen beider Systeme zusammenfallen müssen, wenn diese Anfangswerthe in beiden Fällen dieselben sind. Da nun im Problem (1) die Anfangswerthe von P., P2,... Pn bereits durch den Anfangswerth von gegeben sind, so ergeben sich aus der Forderung, dass in beiden Problemen die Anfangswerthe zusammenfallen sollen, gewisse Bedingungsgleichungen für die Anfangswerthe im Problem (2), und wenn man diesen Bedingungen in einer bestimmten einfachen Weise gentigt, so gelangt man eben zu der Jacobi'schen Regel.

Es versteht sich von selbst, dass auch diese neue Ableitung nur im Allgemeinen richtig ist, in besonderen Fällen aber hinfällig werden kann (siehe F. d. M. III. p. 171). So macht sich namentlich auch hier der Fall, wo die gegebene partielle Differentialgleichung nur die Verhältnisse der p enthält, als Ausnahmefall bemerkbar.

Mr.

A. WEILER. Ueber die Integration des vollständigen Systems partieller Differentialgleichungen von linearer Form. Schlömilch Z. XX. 83-92.

Der Aufsatz beschäftigt sich mit der Integration zweier linearer partieller Differentialgleichungen: