digen Bestimmung der Constanten der gesuchten Differentialgleichung aus. Nach einem Satze des Herrn Fuchs (Borchardt J. LXVI. p. 145) muss die Summe aller Exponenten σ sein; demgemäss ist noch festgesetzt, dass

a+a+2α"+ß + ß′+2ß" + y + y′+2y" = 3

sei. Die Differentialgleichung wird für den besondern Fall a" = 0, y"= 0, auf den der allgemeine sich leicht zurückführt, aufgestellt und stimmt genau mit derjenigen überein, welche vom Verfasser in den „Göttinger Nachr." 1874 p. 249 (siehe F. d. M. VI. p. 213) mittelst der Methode der Liouville'schen Differentiation hergeleitet ist. (Art. I. u. II.).

die durch die Differentialgleichung definirte Function, so erhellt offenbar aus obigen Festsetzungen, dass

ist, woraus hervorgeht, dass die betrachtete Differentialgleichung in Form einer Recursionsformel vierter Ordnung für P, geschrieben werden kann. Es wird nun ein allgemeines Verfahren angegeben, eine Recursionsformel beliebiger Ordnung mit ganzen Coefficienten vermittelst der Methode der unbestimmten Coefficienten durch eine nach Gauss'schen ПI-Functionen fortschreitende Reihe zu integriren. Ohne die allgemeine Begründung desselben zu geben, wird seine Anwendung auf eine specielle Recursionsformel zweiter Ordnung gezeigt, wobei in Bezug auf die Convergenz der vorkommenden Reihen auf eine Abhandlung des Verfassers in Schlömilch Z. XVI. p. 146 u. 428 verwiesen wird, und eine vollständige Lösung derselben durch hypergeometrische Reihen dritter Ordnung (siehe F. d. M. III. p. 157) erzielt. Vermittelst dieser wird dann obige Recursionsformel vier

ter Ordnung integrirt (Art. III. u. IV.). Es werden alsdann die Darstellungen sämmtlicher Zweige der Function P an den Punkten 0, 1, ∞ durch bestimmte Integrale in verschiedenen Formen gegeben und ihre Zulässigkeit auch noch in dem Falle nachgewiesen, wo sie nach der gewöhnlichen Definition keinen Sinn haben. Es lässt sich nämlich zeigen, dass im Allgemeinen eine solche Modification des Integrationsweges möglich ist, dass die bestimmten Integrale zur Darstellung der Zweige der Function P dienen können. In einem einfacheren Falle hat der Verfasser diese Methode bereits in Schlömilch Z. XIV. p. 51 angegeben (Art. V. u. VI.). Im letzten Abschnitt werden einige Coefficienten, die den Zusammenhang der einzelnen Zweige unter sich vermitteln, durch II-Functionen und hypergeometrische Reihen dritter Ordnung dargestellt. Während nun bei den hypergeometrischen Reihen die Kenntniss der entsprechenden Coefficienten dazu dient, Sätze über contigue Functionen abzuleiten, wird eine ähnliche Herleitung für die Function P durch die Complicirtheit dieser Coefficienten erschwert. Es werden nun schliesslich zwei andere Methoden kurz angedeutet, um zu Relationen zwischen contiguen Functionen zu gelangen. Hr.

W. H. L. RUSSELL. On the integration of algebraical functions with illustrations in mechanics. Proc. of London XXIII. 279.

Auszug aus der eigentlichen Arbeit. Im ersten Theil stellt der Verfasser die Werthe von irrationalen algebraischen Grössen mit Hülfe linearer Differentialgleichungen mit rationalen Coefficienten dar. Ihre Integrale werden dann durch convergirende Reihen ausgedrückt. Im zweiten Theil sucht der Verfasser festzustellen, unter welchen Umständen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung durch irrationale Functionen genügt werden kann. Der dritte Theil enthält Erläuterungen durch Lösung dynamischer Probleme.

Cly. (0.)

P. MANSION. Démonstration de la Démonstration de la propriété fondamentale des équations différentielles linéaires. Grunert Arch.

LVIII. 99-100.

Einfacher Beweis des Satzes, dass, wenn zein particuläres Integral einer linearen Differentialgleichung nter Ordnung in y bezeichnet, diese Gleichung durch die Einführung von

als neue Variable auf eine lineare Differentialgleichung (n-1)ter Ordnung reducirt wird. Von diesem Satze hat der Verfasser bereits drei andere Beweise gegeben in den Bull. de Bruxelles 2me série XXXVIII. und im Messenger of Mathematics New Series IV. p. 177. Hr.

P. MANSION. New demonstration of the fundamental property of linear differential equations. Messenger (2)

V. 177-179.

1

Beweis, dass die lineare Differentialgleichung vierter Ordnung y'v+4, y+A,y" +4 ̧y'+A ̧y = 0 mit variabeln Coefficienten reducirt werden kann auf die Form (D−q) (D-r) (D—s) (D−t)=0. Es wird bewiesen, dass t durch die Gleichung y'-ty, = 0 gegeben ist, wo y, ein particuläres Integral der Gleichung ist (siehe auch F. d. M. VI. p. 205). Glr. (0.)

F. CASORATI. Sulla teoria delle soluzioni singolari delle equazioni differenziali. Rend. Ist. Lomb. (2) VIII.

W. THOMSON. On the integration of linear differential equations with rational coefficients. Rep. Brit. Ass. 1874.

J. COCKLE. On primary forms. Phil. Mag. 1875.

Csy.

Die Arbeit behandelt Differentialgleichungen in symbolischer Lösung und enthält eine Erweiterung der Methoden, die in Boole's Differentialgleichungen gegeben sind.

Csy. (0.)

Fortschr. d. Math. VII. 1.

13

N. TRUDI. Teoria delle equazioni differenziali lineari. Atti di Napoli VI. 71.

Der Verfasser beschäftigt sich hauptsächlich mit gewissen Functionen, die er d'Alembert'sche Functionen nennt. Gegeben sei eine Reihe von Functionen einer Veränderlichen, so dass zwischen ihnen keine lineare Relation mit constanten Coefficienten besteht. Es mögen alle Functionen durch einander dividirt und zwar die zweite durch die erste u. s. f., und die Quotienten derivirt werden. Es möge nun mit der Reihe der so erhaltenen Functionen wie mit den gegebenen verfahren und in derselben Weise fortgefahren werden. Die Functionen, welche in dieser Weise successive hergeleitet werden, nennt der Verfasser d'Alembert'sche.

Er definirt ferner als Determinante von r Functionen einer Variabeln diejenige, in welcher die Elemente jeder horizontalen (oder vertikalen) Reihe eine der Functionen und ihre successiven Herleitungen bis zur Ordnung r-1 sind. Dann werden verschiedene Eigenschaften dieser Functionen und die zwischen ihnen bestehenden Relationen hergeleitet.

Der Verfasser wendet sich dann zur Theorie der linearen Gleichungen, indem er die gefundenen Eigenschaften benutzt und dadurch eine bisher bestandene Lücke in dieser Theorie ausfüllt, welche dahin geht, dass man die Lösung, als Ausdruck einer Summe von Quadraturen, auch unabhängig von der Lösung durch ein vielfaches Integral erhalten kann.

Auch wird die bekannte Analogie zwischen den linearen und den gewöhnlichen algebraischen Gleichungen ausgedehnt dadurch, dass für die linearen Gleichungen eine Formel aufgestellt wird, welche für diese Theorie dieselbe Bedeutung hat, wie die Taylor'sche für die algebraischen Gleichungen. Den Schluss der Arbeit bilden historische und kritische Notizen über den Gegenstand. Jg. (0.)

A. WINCKLER. Integration zweier linearer Differentialgleichungen. Wien. Ber. LXXI.

d'y

dy

dx

dx

(ax2+2bx + c) +(dx+e) +fy = 0

da

stets zurückgeführt werden kann, wenn der Coefficient von

ein vollständiges Quadrat ist, und

d'y

dx

worauf bekanntlich die Riccati'sche Differentialgleichung reducirbar ist.

Die Lösungen beider werden in Form einfacher bestimmter Integrale gegeben und beruhen auf derselben Grundformel, welche der Verfasser in den Wien. Ber. LXVII. (vgl. F. d. M. V. p. 186) entwickelt hat. Derselbe legt besonders Werth darauf, dass von der Riccati'schen Differentialgleichung auch innerhalb des Intervalles 0 und -4 für m zwei von einander verschiedene partikuläre Lösungen angegeben werden können, während man nach den bisher bekannten Methoden in diesem Falle nur ein partikuläres Integral erhält und genöthigt ist, das zweite durch die Formel

darzustellen, welche, wenn y, wie hier ein bestimmtes Integral ist, kaum als eine brauchbare Lösung betrachtet werden kann.

Hr.

S. SPITZER. Note über Differentialgleichungen der Form y"" = xTM (Ax3y" + Bxy' + Cy).

Wird diese n mal differentiirt und z("-2) = y gesetzt, so erhält man xy"" = 2ax'y" + 4an xy' +2an (n-1),

welcher Differentialgleichung offenbar