Verfasser pag. 150 angezogenen Beispiel der Fall ist, wo die Wurzeln der determinirenden Gleichung und sind. Zum Schluss giebt der Verfasser eine eingehende Anwendung der Theorie auf die Riemann'sche Differentialgleichung mit drei singulären Punkten, welche leicht auf die Gauss'sche Differentialgleichung, der die hypergeometrische Reihe genügt, zurückgeführt wird. Hierbei wird für die Entscheidung über das Auftreten von Logarithmen in den Integralen mit grossem Vortheile von einem Kriterium Gebrauch gemacht, welches unter anderen ebenfalls von Herrn Fuchs angegeben ist, aber unseres Wissens in den späteren darauf gerichteten Untersuchungen wenig Beachtung gefunden hat. Ist r, ... r die Gruppe der nur um ganze Zahlen unterschiedenen Exponenten, so geordnet, dass ra-re positiv ist, wenn aẞ, so besteht das Verfahren darin, die Differentialgleichung aufzustellen, welcher die (r,—r2+1)ten Ableitungen von y(x-a) und nur diese genügen. Je nachdem die determinirende Fundamentalgleichung der letzteren ganze negative Wurzeln hat oder nicht, sind die Integrale der ursprünglichen Differentialgleichung mit Logarithmen behaftet oder nicht, In der Entwickelung der allgemeinen Theorie hat sich übrigens der Verfasser bei der Discussion über das Auftreten von Logarithmen in den Integralen auf die Wiedergabe des erwähnten Kriteriums beschränkt. Hr. W. SEIFERT. Ueber die Integration der Differentialgleichung (1 − a)(1 − b ) (l—c) d' + (a+b1+c3). +(0+et3)y = 0. Diss. Göttingen. dt dy Nach dem gegenwärtigen Standpunkte der Theorie der linearen Differentialgleichungen, wie er durch die fundamentalen Untersuchungen des Herrn Fuchs gewonnen ist, kommt die Aufgabe ihrer Integration auf die Lösung von zwei Problemen zurück, von denen das erste in der Darstellung der Fundamentalsysteme in der Umgebung singulärer Punkte, das andere in der Aufstellung der Beziehungen zwischen zwei, in den Umgebungen von zwei singulären Punkten definirten Fundamentalsystemen besteht (Borchardt J. LXVI., LXXV.). Nach diesen beiden Gesichtspunkten wird nun die im Titel genannte Differentialgleichung mit drei singulären Punkten (excl. d. Unendlichkeitspunkt) discutirt. Sie ist derjenigen mit zwei singulären Punkten, welcher die Gauss'sche Reihe genügt, analog und geht u. A. in sie über, wenn zwei der singulären Punkte a,b,c einander gleich werden. Die hypergeometrische Reihe F(aßyx) als die Darstellung des einen Integrals in der Umgebung des singulären Punktes x = 0 bildet bekanntlich mit dem Integrale x2-Y. F(a+1-y, B+1−y, 2— y, x) das zu x = 0 gehörige Fundamentalsystem (Gauss' Werke III. p. 210). In analoger Weise lautet nun das zu t = a gehörige Fundamentalsystem Y1 = D(abc aß dey (t − a)) y2 = (t-a)1y (abc, a + 1−y, ẞ+1-7, 8+ 1−y, 8 +1-7, 2-y, (t-a)), Y2 also abgesehen von den singulären Punkten a,b,c und der Variablen 5 Elemente enthaltend, welche mit den Constanten der Differentialgleichung in einfachem Zusammenhange stehen. bedeutet eine nach ganzen positiven Potenzen von t-a fortschreitende Reihe mit dem Anfangsgliede 1. Die Form für y, ist ina+ba+ca' (ba) (c-a) dess nur gültig, wenn y = keine ganze Zahl ist. Im anderen Falle tritt dafür eine Darstellung ein, in welcher im Allgemeinen ein Logarithmus vorkommt. Auch für die Um 1 gebung des Unendlichkeitspunktes wird, indem t—a = ge น setzt wird, ein Fundamentalsystem gewonnen, dessen Darstellung der entsprechenden von Gauss für seine Function a. a. O. p. 220 gegebenen genau analog ist. Zur Ermittelung der Beziehungen zwischen den Fundamentalsystemen um zwei singuläre Punkte sind die linearen Ausdrücke y1 = луa+eуa, y'a = oya+vya y' zen von t - zu bestimmen, wo ya und ya die Elemente des Fundamentalsystems um a, y' und y die Elemente desjenigen um b in obiger Darstellung bezeichnen. Ist 1-y>0, so verschwindet ya für ta, während ya 1 wird. Es erhalten also y' und y', für t = a beziehungsweise die endlichen Werthe und σ. Die nach Potenb entwickelten Reihen von y', und y' sind daher noch für ta, also an der Grenze des Convergenzkreises vom Radius ba gültig, falls der dritte singuläre Punkt c ausserhalb dieses Kreises liegt - eine Bedingung, welche der Verfasser hinzuzufügen unterlassen hat. Nachdem so π und σ bekannt sind, erfolgt die Bestimmung von g und nach der in der Fuchs'schen Abhandlung Borchardt J. LXXV. p. 209 ff. enthaltenen Vorschrift. Der Fall 1-0 wird durch die Substitution y= (ta) Yu auf den vorhergehenden zurückgeführt. Das Fundamentalsystem um den Unendlichkeitspunkt wird in gleicher Weise mit den zu den endlichen singulären Punkten gehörigen in Beziehung gesetzt. Es sei hier die Bemerkung beigefügt, dass die Reihen y' und für 1 = a, durch welche 7, σ und mittelbar g, Tausgedrückt werden, jedenfalls sehr langsam convergiren und daher zur Darstellung der genannten Ausdrücke wenig geeignet erscheinen. Bei der Reihe F(aßyx), deren Werth eine analoge Bedeutung hat für die Beziehungen der Fundamentalsysteme in der Gauss'schen Gleichung, hat Gauss dem gleichen Uebelstande durch die Einführung der bekannten II-Function abgeholfen. Einen besonderen Abschnitt widmet der Verfasser der Aufstellung der Relationen, welche zwischen den Functionen bei gewissen Aenderungen ihrer Elemente stattfinden, wobei u. A. auch Relationen zwischen den und ihren Ableitungen entwickelt werden. Im letzten Abschnitt werden specielle Fälle der Function O betrachtet, die dadurch charakterisirt sind, dass die Recursionsformel für die Coefficienten der Reihe statt der drei Glieder, aus denen sie im Allgemeinen besteht, nur deren zwei enthält. Bis auf einen Fall kommen diese speciellen Functionen auf die Gauss'schen zurück. Es werden durch sie eine Reihe elemen tarer Functionen, ferner die vollständigen elliptischen Integrale nebst ihren Ableitungen nach Amplitude und Modul, endlich die unvollständigen elliptischen Integrale 1ter, 2ter und 3ter Gattung letztere nur in dem Falle, dass der Parameter gleich dem Quadrate des Moduls ist in verschiedenen Formen dargestellt. Zum Schluss wird folgender Satz bewiesen: „Jede nach ganzen positiven Potenzen von t-r fortschreitende Reihe, deren Recursionsformel die Gestalt hat: (k + ex-1)(k + fk−1)dx−1 + Ak(k + Ck)(k+fk)dk = 0 + Ax+1(k + Ck+1)(k + 1)dk+1 + Ax+2(k + 1)(k + 2)dk+2 lässt sich durch - Functionen ausdrücken, ist also convergent." Hr. MOUTARD. Note sur les équations différentielles linéaires du second ordre. C. R. LXXX. 729-733. Die Fälle, in welchen man bisher die Differentialgleichung (h ein willkürlicher Parameter, & eine gegebene Function von x) unter endlicher Form integrirt hat, lassen sich alle auf den Fall = n(n+1) (n eine ganze Zahl) zurückführen. Es ist dem Verfasser gelungen, den allgemeinsten Werth von λ zu finden, für welchen die obige Gleichung (1) ein ganzes rationales Polynom vom nen Grade in Beziehung auf h zum partikulären Integrale hat. Von der etwas allgemeineren Form ausgehend wo w ebenfalls eine Function von z bedeutet, definirt der Verfasser eine Reihe von Grössen 2,,2,... durch die recurrenten Gleichungen: und findet als die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gleichung (2) ein Integral der verlangten Form hat, dass 2, identisch gleich Null sei und in der Reihe der Grössen 2,2,... die erste sei, welche verschwindet. Ist diese Bedingung erfüllt, so findet man z durch die Auflösung der recurrenten Gleichungen: Für die Gleichung (1), wo w = 0 ist, führt die Bedingung 2, = 0 auf eine Differentialgleichung 2nter Ordnung für 2. Es wird gezeigt, wie man aus einem gefundenen Werthe 2, für den 2, verschwindet, einen anderen zwei willkürliche Constanten enthaltenden Werth 2 ableiten kann, für den 2n+1 =0 wird. Hiernach lässt sich die allgemeine Integration von 2, =0 auf successivem Wege bewirken. Hr. J. THOMAE. Ueber eine Function, welche einer linearen Differential- und Differenzengleichung vierter Ordnung Genüge leistet. Halle a. S. Nebert. Es wird eine Differentialgleichung vierter Ordnung mit den drei singulären Punkten 0, 1, ∞ construirt, deren Integrale die Eigenschaft haben, in der Umgebung dieser Punkte mit endlichen Die Exponenten, zu welchen die Elemente der entsprechenden Fundamentalsysteme gehören sollen, sind bezüglich a, a', a", a" +1; P, p',p",p" + 1; 7,7', 7", 7"+1. Diese Festsetzungen im Verein mit der Bedingung, dass keine der zu den Exponenten a", a" + 1; ß", ß"' + 1; y'"', 7"+1 gehörigen Gruppen Logarithmen enthalten sollen, reichen zur vollstän |