wo an Stelle der letzten Gleichung eine beliebige Gleichung zweiten Grades tritt, auf den betrachteten Fall zurückgeführt werden kann. Mr. A. STEEN. Om Muligheden af et Par lineare Differentialligninger Integration ved endelige explicite Funktioner. Kopenh. Skr. X. 519-541. Schon im Jahre 1835 gab Liouville im 2ten Bande seines Journals eine Methode zur Untersuchung, wann ein vorgelegtes Differential oder eine Differentialgleichung sich durch endliche explicite Functionen integriren lasse. Zu diesen Untersuchungen, die meistens nur zu negativen Resultaten führen, hat er lange keinen Nachfolger gefunden, und erst in der neuesten Zeit haben die Herren P. C. V. Hansen und Steen wieder den von Liouville eingeschlagenen Weg betreten (siehe F. d. M. VI. 206-207). Die vorliegende Arbeit hat den besonderen Zweck eine einfachere und übersichtlichere Form der Beweise für mehrere von den Sätzen Liouville's zu geben, und enthält ferner eine Untersuchung über die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung wenn P von der Form y" — Py = 0, M xm M oder ist, wo M und N ganze N rationale Functionen sind, und N ausserdem keine gleichen Factoren enthält. Der Verfasser geht dabei von dem folgenden Satze Liouville's aus: „Wenn y ein partikuläres Integral der Gleichung y"-Py=0 ist, dann ist auch u=y" (keine ganze positive Zahl) ein particuläres Integral einer linearen Gleichung der Ordnung k+1. Diese Gleichung nimmt die folgende Form an: u(k+1)—E,Pu-1)—E_Pu−2)...Ek+P−1)uu-k)...--uPu−1) u=0, WO ist, und C die Anzahl der Combinationen von je k Elementen unter i bezeichnet. Theils durch Betrachtung dieser Hülfsgleichung, theils auch mittelst directer Untersuchung der vor gelegten Gleichung stellt der Verfasser die Bedingungen auf dafür, dass diese mittelst endlicher expliciter Functionen integrabel sei, und die Form des Integrals für diese Fälle wird angegeben. Es zeigt sich aber auch, dass diese Bedingungen von solcher Natur sind, dass sie nur in sehr speciellen Fällen erfüllt werden können, so dass die meisten Gleichungen dieser Art zu ganz neuen Functionen führen, welche dann besonders untersucht werden müssen. Gm. L. FUCHS. Ueber die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen, und eine neue Anwendung der Invariantentheorie. Gött. Nachr. 1875. 568-581, 612-613. Borchardt J. LXXXI, 97-142. Der Verfasser beschäftigt sich mit der Aufgabe: Mittel zu finden, die entscheiden lassen, ob eine vorgelegte lineare Differentialgleichung mit rationalen Coefficienten algebraische Integrale besitzt; es gelingt ihm, diese Aufgabe für die betreffenden Differentialgleichungen zweiter Ordnung insofern zum Abschlusse zu bringen, als seine Methoden gestatten, in jedem concreten Falle die Frage nach einer endlichen Anzahl von Schritten zu beantworten. Zuvörderst versuche man, ob die Differentialgleichung durch die Wurzel aus einer rationalen Function befriedigt werden kann (was nach Liouville'schen Methoden für lineare Differentialgleichungen beliebiger Ordnung auf die Frage nach der Verträglichkeit eines gewissen Systems linearer Gleichungen hinausläuft). Ist das nicht der Fall, und sind die Integrale dennoch algebraisch, so zeigt Fuchs, dass, unter y,, y, unabhängige Particularlösungen der reducirt vorausgesetzten Differentialgleichungen verstanden, gewisse ganze homogene Functionen f(y,y,) existiren müssen, die Wurzeln einer rationalen Function sind. Diese Primformen sind dadurch definirt, dass sie durch bestimmte lineare Transformationen der y1, y, in sich übergehen, nämlich diejenigen, welche entstehen, wenn man die unabhängige Variable die singulären Punkte der Differentialgleichung umkreisen lässt. Sie haben in Folge dessen z. B. die Eigenschaft, dass ihre Covarianten wieder Primformen sind, und, sucht man insbesondere die Primformen niedersten Grades, so müssen in Folge dessen deren Covarianten, sobald sie niederen Grad als die Grundform besitzen, identisch verschwinden. Durch solche Schlüsse findet Fuchs, dass nur eine begrenzte Zahl niederster Primformen existirt. Seine Tabelle (die übrigens noch überflüssige Formen zu enthalten scheint) umfasst nur Formen der Grade n = 2, 4, 6, 8, 10, 12. Nun kann man z. B. das folgende Verfahren einschlagen (der Verfasser giebt noch eine Reihe anderer Betrachtungen an, die transcendente Operationen verlangen oder nur im speciellen Falle ausreichen): Man stelle für die angegebenen Werthe von n diejenige lineare Differentialgleichung n+1ten Grades auf, welche zu Particularlösungen hat, und entscheide dann nach der oben berührten Liouville'schen Methode, ob eine dieser Differentialgleichungen durch die Wurzel einer rationalen Function befriedigt werden kann. Ist dies nicht der Fall, so sind y,, y, keine algebraischen Functionen; trifft es aber zu, so kann man y1, Y1⁄2 gradezu als solche anschreiben. Kln. CH. HERMITE. Lettre à M. L. Fuchs de Gottingue. Borchardt J. LXXIX. 324-338. Die merkwürdigen Beziehungen sind bekannt, welche zwischen. den linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, denen die Kugelfunctionen genügen, und den Näherungswerthen des Kettenx+1 bruchs für log bestehen. (Vgl. Heine Handb. der KugelX- -1 functionen p. 158 ff., Christoffel, Borchardt J. LV. p. 68). Diese werden vom Verfasser dahin verallgemeinert, dass eine neue Art von gleichzeitigen Näherungsbestimmungen mehrerer (n) Functionen durch algebraische Brüche, wovon der Verfasser in der Darstellung der Exponentialfunctionen (C. R. 1873, vgl. F. d. M. V. p. 248) ein erstes Beispiel gegeben hat, mit einer linearen Differentialgleichung (n+1)ter Ordnung in Zusammenhang gebracht wird, der die n Integrale genügen, wo M., M,...μn positiv vorausgesetzt sind. I. Es sei = m + n + 1 μ2 = μ1 = ··· = μn = m +1, p (m eine ganze positive Zahl), also die Lösungen gesetzt wird. Man zeigt leicht, dass bis auf einen Zahlencoefficienten Das Integral rechts, welches eine ganze Function (mn-1)ten Grades in ist, werde mit q(x) bezeichnet. Beachtet man nun, dass, wie aus der ursprünglichen Darstellung hervorgeht, y, in der Entwickelung nach fallenden Potenzen von bis auf die Glieder der Ordnung 1 darstellen. Giebt man in den Lösungen (1) dem Logarithmus 2 um Vielfache von 2πi verschiedene Werthe und bildet die Differenz, so erhält man eine neue (n+1)te und zwar ganzzahlige Lösung p(x) = dm f(x) dxm welche für n = 1, %, = − 1, ≈, = 1 in die Kugelfunction erster Art übergeht. II. Es sei = μ2 = μ1 = ··· = μn = m + ž, p m+ n + 1 (m eine ganze positive Zahl) also die n Lösungen der entsprechenden Differentialgleichung (n+1)er Ordnung so dass (z) eine ganze Function vom mnten Grade ist, so er Das zweite Integral rechts lässt sich darstellen in der Form k=n Σε k=1 En-k❤k (x), wo die (x) ganze Functionen von x vom (mn-1)ten Grade bedeuten und gesetzt ist. Durch Anwendung des Satzes von der Vertauschung |