ist, für welche das Product der Abstände von zwei festen Punkten constant ist. Mit Hülfe von Polarcoordinaten wird zunächst der Flächeninhalt eines Sectors bestimmt, der von der Verbindungslinie der festen Punkte und einem beliebigen vom Centrum ausgehenden Radiusvector begrenzt wird. Die verschiedenen möglichen Formen werden dabei gesondert behandelt. Sodann wird das Volumen desjenigen Rotationskörpers berechnet, der durch Rotation der obigen Curve um die eine oder die andere ihrer Axen entsteht. Der Flächeninhalt der Oberfläche dieser Rotationskörper wird nur für den Specialfall bestimmt, dass die rotirende Curve die eigentliche Lemniscate ist. Für diesen Specialfall werden zum Schluss die Hauptkrümmungsradien eines Punktes der Oberfläche bestimmt. Neue Methoden oder bemerkenswerthe Resultate enthält die Arbeit nicht, sondern dieselbe ist nur als ein Beispiel für die Anwendung der gewöhnlichen Integrationsmethoden zu betrachten. Einige Sätze über Lemniskaten, die sich beiläufig ergeben, sind nicht neu.

Wn.

M. MARIE. Classification des intégrales cubatrices des volumes terminés par des surfaces algébriques. Définition géométrique des surfaces capables de cubature algébrique. C. R. LXXX. 757-760.

M. MARIE. Relation entre les m périodes cycliques de la quadratrice d'une courbe algébrique de degré m.

C. R. LXXX. 872-874.

Damit eine algebraische Fläche mer Ordnung eine algebraische Cubatur zulasse, ist nothwendig, dass alle ihre ebenen Schnitte algebraisch quadrirbar seien. Mit Rücksicht darauf findet man (vgl. dieses Jahrb. V. p. 225) als nothwendige Bedingungen, erstens dass die Fläche eine Doppellinie vom Grade (m-1)(m-2) besitzen und zweitens ihre Gleichung von der

2

Form sein müsse

E, E,Emm−3 (x, y, z) = 0,

m

wo E, den Ausdruck A,x+By+C+D, und m-3 eine ganze Function von der Dimension m 3 in x, y, z bezeichnet. Dies ist jedoch noch nicht ausreichend, es müssen noch zwischen den m Asymptotenebenen E, 0 Beziehungen bestehen.

Von den Flächen dritter Ordnung gestatten eine algebraische Cubatur nur die Cylinderflächen

In der zweiten Note wird der Beweis geführt, dass die

Summe der m cyclischen Perioden von Sydz (vgl. a. a. O.) für

eine Curve mter Ordnung Null sei.

St.

P. G. TAIT. Mathematical notes. Proc. of Edinb. VII. 434-438, 498-506. 1871.

1) Ueber eine Integration durch Quarternionen.

Glr. (0.)

G. PLARR. On etablishment of elementary principles of an analytical basis. Trans. of Edinb. XXVII. 175-202. 1874.

G. PLARR. On the elimination of a, ß,y from the conγ ditions of integrability of Suado, Sußdo, Suydo.

Trans. of Edinb. XXVII. 251-273. 1874.

Untersuchungen unter Anwendung der Theorie der Quater

nionen.

Glr. (0.)

Capitel 4.

Bestimmte Integrale.

J. THOMAE. Einleitung in die Theorie der bestimmten. Integrale. Halle, Nebert. Recension von P. du BoisRaymond. Schlömilch XX. L. Z. 121-131.

Herr Thomae macht hier den Versuch, die Theorie der bestimmten Integrale nach dem neuesten Stande der Ansichten über die Principien der Infinitesimalrechnung darzustellen. Ist dieses Unternehmen auch nicht durchaus gelungen, so muss doch die vorliegende Schrift als eine höchst willkommene Bereicherung der mathematischen Litteratur bezeichnet werden. Zu ihrer Charakterisirung möge Folgendes dienen.

Die Gegenüberstellung von vor- und rückwärts genommenen Differentialquotienten, vom Herrn Verfasser schon anderweitig betont, ist hier consequent durchgeführt und zu einem massgebenden Gesichtspunkte gemacht.

Der Begriff des bestimmten Integrales wird nach Riemann gegeben. Die Darstellung ist jedoch nicht frei von Einwürfen, wie die treffende Auseinandersetzung des Herrn du Bois-Reymond zeigt, welcher a. a. O. die Ergänzung derselben andeutet. (Vgl. d. Referat über Darboux Mém. s. 1. fonctions discontinues" Abschn. VII. 1.) Referent vermisst hier namentlich eine klare Aeusserung über die analytische Bedeutung des Ausdruckes, dass für eine Summe wie

und

Σ

"

Erd, f(x,), worin 2,8, = b α

1

...

1

...

(1) a + d1 + ··· + d,,-1≤x,≤a+d, + ··· + d,−1 +d,. bei unendlicher Abnahme der Intervalle 8, ein endlicher Grenzwerth existire. Dies kann nur besagen: Ist Zahl, so giebt es eine obere Grenze e für die valle d,, so dass für d,<e

eine vorgegebene Grösse der Inter

wie immer auch die Intervalle d angenommen werden, wenn sie nur nicht grösser sind als das grösste der d,. Nimmt man auch die Riemann'sche Bedingung der Integrirbarkeit von f(x)

Lim, 8, (g, — k,) = 0 für Limd, = 0

1

[gr grösster, k, kleinster Werth von f(x) im Intervalle (1)] in diesem Sinne, so scheint die Existenz von Lim 8,f(x,) daraus sehr leicht zu folgen.

Der erste Mittelwerthsatz (§ 13) dürfte einer schärfern Fassung fähig sein, welche aber einen andern Beweis erheischt. Man kann z. B. sagen: „Ist f(x) zwischen den endlichen Grenzen a und b stetig, doch nicht constant, ohne dass über das Verhalten dieser Function an den Grenzen selbst etwas vorausgesetzt wird,

und existirt das Integral føde, so hat ff(x)·dx: (b− a)

einen

mittleren Werth zwischen der oberen und unteren Grenze von f(x) im Intervalle a<x<b, der von diesen beiden Zahlen verschieden ist, und kann gesetzt werden

Von dem, was über die Differentiirung eines bestimmten Integrales nach einem darin vorkommenden unbestimmten Parameter bemerkt ist, lässt sich § 42 in der vorliegenden Form wohl nicht halten. Zerlegt man nämlich

so kann allerdings durch entsprechende Annahme von W der zweite Theil beliebig klein werden, allein dieser Werth von W hängt offenbar von h ab, wodurch der Schluss seine Kraft verliert. Alles übrige scheint aber völlig stichhaltig, namentlich möge folgender Satz hervorgehoben werden (§ 32), der sich auch f(x,y) auf andere Art beweisen lässt: „Ist über eine Fläche

Nach Entwickelung der Hauptsätze über Doppelintegrale wendet sich Herr Thomae zur Integration zweigliedriger Differentiale p(x, y) dx+q(x,y) dy. Er beweist den Cauchy'schen Satz, dass das über die Begrenzung eines Gebietes T, in dessen Innern др да

=

მე ду

ist und diese Ausdrücke integrabel sind, erstreckte Integral

S(pdx+qdy)

Null ist, und leitet daraus bekannte Sätze über die Integrale von Functionen complexer Veränderlicher her.

St.

A. L. CAUCHY. Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires. Darboux Bull. VII. 265-304; VIII. 43-56, 148-159.

Die Redaction des Bulletin des Sciences Mathématiques etc. erwirbt sich ein grosses Verdienst, indem sie die so selten gewordene Abhandlung Cauchy's „Ueber die bestimmten Integrale zwischen imaginären Grenzen“, welche zu Paris im Jahre 1825 erschien, hier wieder abdruckt. Es ist dies bekanntlich die Abhandlung, in der Cauchy, der Schöpfer der Lehre von den Functionen imaginärer Variabeln, zuerst den Begriff eines zwischen imaginären Grenzen genommenen Integrals aufstellt und den Sinn der Vieldeutigkeit desselben darlegt. Die Bestimmung der Anzahl der Werthe, die ein solches bestimmtes Integral annehmen kann, geschieht mit Hülfe der Variationsrechnung und der Theorie der singulären Integrale. Die Lösung dieses Problems führt auf eine grosse Reihe von Formeln sowohl für die Auswerthung wie für die Transformation der bestimmten Integrale.

M.

G. ASCOLI. Sul concetto di integrale definite. Att. A.R. L. (2) II. 862-872.