P. G. TAIT. Note on the transformation of double and triple integrals. Proc. of Edinb. VIII. 209-211. 1873.

Beweis der gewöhnlichen Transformationsformeln.

Glr. (0.)

C. M. PIUMA. Intorno ad una classe di integrali esprimibili con soli logaritmi. logaritmi. Brioschi Ann. (2) VII. 18-24.

Die gegenwärtige Arbeit untersucht den Fall, wo das Integral

in blossen Logarithmen darstellbar ist. Die gleiche Aufgabe für n = 1 hat der Verfasser in Tortolini Ann. IV. unter dem Titel: Proprietà di una classe di integrali di irrazionali algebraici possibili con soli logaritmi gelöst. Hier ist f eine ganze Function von x, m eine Primzahl, n eine positive ganze Zahl, und alle cb <mn. Es wird als bekannt vorausgesetzt, dass das Integral die Form haben muss

a die mate Wurzel der Einheit, M ganze Function von x, und A constant ist, und bewiesen, dass es m"-1 ganze Functionen 2,,2,,... giebt, derart dass, wenn man

setzt, die T für keinen endlichen Werth von verschwinden. Setzt man dann

wo die R für keinen endlichen Werth von verschwinden oder unendlich werden; und das Product aller R ist constant, was der Verfasser in der früheren Note für n = 1 bewiesen hatte.

H.

A. CAYLEY. On Aronhold's integration formula. Messenger (2) VI. 88-90.

dass

Beweis von Aronhold's Formel (Borchardt J. LXI. 95-145),

Λ

dx

1 f (ax + By + y) (hx +by+f)

(aš+hn+g)x+(h§+by+f)y+g§+fn+c ax + By + r

wo y eine gewisse irrationale Function von x ist, die durch eine quadratische Gleichung bestimmt wird, und die anderen Buchstaben Constanten bezeichnen, die durch gewisse Relationen verbunden sind. Glr. (0.)

J. W. L. GLAISHER. Note on an integral. Messenger (2)

V. 190.

Ein Integral, welches eine Formveränderung derselben Art enthält, wie die, welche in dem wohlbekannten

J. C. MALET. Two theorems in integration. (Cont. e fine). Brioschi Ann. (2) VI. 258-259.

Siehe F. d. M. VI. p. 174.

Hr.

E. B. ELLIOT. Solution of a question (4694). Educ. Times

XXIV. 19.

wenn S(a, b) eine symmetrische Function von a und b ist.

0.

M. AZZARELLI. Rettificazione e quadratura delle linee di second' ordine. Acc. P. d. N. L. XXVIII. 287-304.

Euler hat in seiner Abhandlung: Specimen de constructione aequationum differentialium sine indeterminatarum separatione (Comm. Acc. Petrop. VI. 1732-1733, p. 168) die Rectification der Ellipse als Function der im Endpunkt der grossen Axe gezogenen Tangente ausgedrückt. Schlägt man aber über der grossen Axe einen Kreis und sieht die Länge des Ellipsenbogens an als Function der Tangente, welche dem dem Ellipsenbogen zugehörigen Kreisbogen entspricht, so wird das Integral der Rectification einfacher. Dieses gilt, wie Herr Azzarelli zeigt, nicht nur für die Ellipse, sondern für alle Curven zweiter Ordnung. Auch lässt sich diese Methode auf die Quadratur dieser Curven anwenden. M.

A. GENOCCHI.

Sur la rectification des ovales de Des

cartes. C. R. LXXX. 112-115.

Herr Chasles erwähnt in seinem Rapport sur les progrès de la Géométrie (p. 298), bei Gelegenheit eines Referates über eine Abhandlung von Mannheim, folgenden Satz über die Cartesischen Ovale: „Die Differenz zweier Bogen, die zwischen zweien von einem Focus ausgebenden Radienvectoren liegen, ist gleich einem Ellipsenbogen". Dieser Satz wurde später von Roberts bewiesen. Dabei ging man von dem Umstand aus, dass die Bogen der Cartesischen Ovale im Allgemeinen von complicirteren Transcendenten abhingen, und glaubte hier eine Analogie mit dem Fagnano'schen Theorem aufstellen zu können. Herr Genocchi zeigt, dass eine solche Analogie nicht besteht, da jeder Bogen eines Cartesischen Ovals sich darstellen lässt als Summe dreier Ellipsenbogen.

M.

P. G. TAIT. Mathematical notes. Proc. of Edinb. VII. 434-438. 498-506. 1871.

5) Ueber Descartes'sche Ovale. Herr Cayley fügt in einer Bemerkung hinzu, dass die angegebenen Eigenschaften sich in Chasles' Aperçu historique finden. Glr. (0.)

CHEVILLIET. Sur l'erreur de la formule de Poncelet relative à l'évaluation des aires. C. R. LXXX. 823-826.

Der Fehler der Poncelet'schen Formel ist, in Beziehung auf den Abstand h zweier aufeinanderfolgender Abscissenpunkte von der zweiten Ordnung und stimmt, wenn man die höheren Potenzen von h vernachlässigt mit dem Fehler der Methode der Trapeze in Grösse und Zeichen überein. Bei der durch Piobert und Parmentier modificirten Formel von Poncelet erniedrigt sich der Fehler, indem er von der dritten Ordnung in Bezug auf h wird. Die betreffenden Formeln führen auch noch zu einem Ausdruck für den Fehler der Simpson'schen Formel, den der Verfasser bereits früher gegeben hat. (C. R. LXXVIII. 1841-1843, siehe F. d. M. VI. p. 181).

Hr.

L. CROCCHI. Analogie dell' enunciato del Viviani. Battaglini G. XIII. 170-174.

Es werden einige quadrabele Flächenstücke auf der Kugel, dem graden Kegel und der pseudosphärischen Fläche einzeln berechnet. Die Grenze bildet stets eine cylindrische Fläche, deren Basis durch eine Gleichung zwischen den Polarcoordinaten ę, w bestimmt ist. Auf der Kugel vom Radius R ist das Stück

zwischen dem Cylinder = R cos und dem Aequator von

n

w = 0 bis 2π quadrabel, wenn sich die n-theilung der doppelten Peripherie construiren lässt, ę, w vom Mittelpunkt aus auf der Aequatorebene genommen; ferner das Stück über der Lemniscate

Π

e' = R' cos2w gerechnet von 0 bis ; ferner das inner

4

halb des Cylinders g2

=

R′(1 — sin2TMw) von w = 0 bis 3; auf

2

dem Kegel das Stück über dem Kreise, welcher die Basis be

rührt und durch deren Mittelpunkt geht, von w = 0 bis

π

2

; auf

der pseudosphärischen Fläche, d. i. der Rotationsfläche, für welche der Cosinus des Winkels zwischen Normale und Axe =

das Stück innerhalb des Cylinders

୧

ist,

R

M. AZZARELLI. Quadratura di superficie piane e cubatura di volumi di rotazione, quando le linee dalle quali dipendono, sono equazioni implicite fra le coordinate cartesiane. Acc. P. d. N. L. XXVIII. 134-152.

Es handelt sich um die Quadratur fyda einer ebenen Fläche für den Fall, wo eine implicite Gleichung zwischen und y, Hier wird eine von Ermanno Giacomo

f(x, y) = 0 gegeben ist.

Ermanno

in den Comment. der Petersb. Acad. VI. p. 189 im Jahre 1738 auseinandergesetzte Methode benutzt und erweitert. hatte die implicite Gleichung

y = Axa Bry

betrachtet; es wird hier auseinandergesetzt, wie man in diesem Falle zu der Quadratur syde gelangt, und durch Beispiele (das Cartesische Oval etc.) erläutert. Alsdann wird die Methode, soweit es angeht, auf das viergliedrige Polynom

KUHSE. Quadratur, Kubatur und Complanation der Lemniscaten. Pr. Dillenburg.

Die Arbeit bezieht sich auf die Lemniscate im erweiterten Sinne, d. h. auf die Curve, welche der Ort für diejenigen Punkte