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so kann man die Coefficienten der Entwickelung von

ex

-m

(-1) und (1))"

x

nach Potenzen von x mit Hülfe der Function f ausdrücken, auch wenn m keine ganze Zahl ist.

Ferner gilt folgende Entwickelung

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falls der absolute Werth von z kleiner als 1 ist.

Wn.

P. S. Solution de la question 37. N. C. M. I. 200-201.

Die Anzahl der Jahre, die nöthig sind, damit ein Capital bei 4 Procent sich durch die Zinseszinsen verdopple, ist bis auf ungefähr drei Tage gleich dem Quotienten

69, 315

t

vermehrt um

0, 346, falls nicht grösser als 12 ist. Dieser Satz von Thoman kommt darauf hinaus, die Gleichung

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A. LAISANT et J. M. DE TILLY. Solution de la question (44). N. C. M. I.

Zwei von einander ganz verschiedene Beweise des folgenden Satzes von Catalan: Ist u eine positive Grösse, so ist

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Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung.

Capitel 1.

Allgemeines (Lehrbücher etc.)

L. NAVIER. Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Mit Zusätzen von J. Liouville. Deutsch herausgegeben und mit Anmerkungen und einer Abhandlung der Methode der kleinsten Quadrate vermehrt von Dr. Theodor Wittstein. 4. Aufl. 2 Bde. Hannover. Hahn.

Die vorliegende vierte Auflage der deutschen Bearbeitung des bekannten Navier'schen Werkes unterscheidet sich von den früheren Auflagen im Wesentlichen durch eine neue würdigere äussere Ausstattung. Was den Inhalt betrifft, so sind jetzt sämmtliche Zusätze mitaufgenommen, welche Liouville dem französischen Originale beigefügt hat. So ist der ursprüngliche Text der „Leçons d'analyse données à l'école polytechnique par M. Navier" jetzt durch 10 Zusätze von Liouville und 6 Anmerkungen des Herausgebers und den im Titel angeführten Anhang über die Methode der kleinsten Quadrate erweitert. Die Zusätze

betreffen die Grenze lim (1+1)", den Rest der Taylor'schen

3=8

und Maclaurin'schen Reihe, Brüche von der Form'ein geo

metrisches Problem über Maxima und Minima, Euler'sche Integrale, das Product ! für sehr grosse x, Anwendung der Theorie der

Doppelintegrale auf Algebra, die Differentialgleichungen

und

d'y
dx2

=

dy

dx

=

= f(x,y)

F(x, y), und die Integration einer gewissen Gattung von linearen Differentialgleichungen. Die Anmerkungen des Herrn Wittstein behandeln ein paar geometrische Darstellungen analytischer Sätze, die Reihe von Lagrange, die angenäherte Berechnung bestimmter Integrale, die Elemente der Theorie der complexen Zahlen und der Riemann'schen Functionentheorie, die Auflösung der Gleichung ay in reellen Zahlen und Einiges über die Krümmung der Flächen.

M.

W. GOSIEWSKI. Differential- und Integralrechnung.
Warschau. (Polnisch).

Dieser kurze Grundriss der genannten Lehren ist für gebildete Laien bestimmt. Er enthält das Wichtigste über das Differentiiren und Integriren der Functionen, die Taylor'sche und Maclaurin'sche Reihe und ihre Anwendungen, Maxima und Minima der Functionen und die einfachsten Anwendungen dieser Lehren auf die Geometrie. In dem Capitel über den Differentialquotienten ist den neuesten Untersuchungen gemäss der wichtige Punkt hervorgehoben, dass die Existenz des Differentialquotieuten keine nothwendige Folge der Continuität der Functionen ist. Der Verfasser stellt die Frage auf, ob für solche Functionen, die keinen Differentialquotienten besitzen, ein allgemeiner Algorithmus sich auffinden liesse, in welchem der Differentialquotient als specieller Fall enthalten sein könne, entwickelt aber diese Ansicht nicht.

Dn.

C. BRAND. Grundriss der Differentialrechnung 1ter Theil.

Berlin. Königsmann.

B. WILLIAMSON. A treatise on the
A treatise on the integral calculus.
Dublin. Longman, Green and Co.

Das vorliegende Werk ist die Ergänzung zu dem „,Treatise on the differential calculus" desselben Verfassers, und ist für

Studirende geschrieben, weshalb auch alle Sätze durch zahlreiche und gut gewählte Beispiele erläutert sind. Es beginnt mit einer ziemlich vollständigen und gut geordneten Behandlung der einfachen Integrale, die in folgende Capitel getheilt ist. Cap. 1. Ueber elementare Integrale. Cap. 2. Ueber rationale Brüche. Cap. 3. Integration durch Rationalmachen. Cap. 4. Ueber vermischte Integration. Das Capitel über bestimmte Integrale enthält neben den gewöhnlichen elementaren Beispielen Cauchy's Behandlung der bestimmten Integrale für den Fall, dass die Function innerhalb der Integrationsgrenze unendlich ist. Der Unterschied des Hauptwerthes und der allgemeinen Werthe in solchen Fällen wird ebenfalls auseinandergesetzt. Dies Capitel schliesst mit der Herleitung der Fundamental-Eigenschaften der I-Function und einer Tafel zur Berechnung ihrer Werthe.

Der weitere Theil des Buches behandelt die geometrischen Anwendungen, und ist der bei weitem interessanteste Theil desselben. In dem Capitel über Flächeninhaltsbestimmungen werden eine Reihe eleganter und wichtiger Sätze gegeben, unter denen wir Steiner's Sätze über Fusspunktcurven und Rollcurven nennen, sowie einen elementaren Beweis für das Princip des Amsler'schen Planimeters. In dem Abschnitte über Rectification finden sich neben den gewöhnlichen Beispielen eine Fülle von Sätzen über elliptische und hyperbolische Bogen nach Landen, McCullagh und Anderen. Den Schluss bildet ein einfacher Beweis des Satzes von Genocchi, dass die Rectification eines Cartesischen Ovals von der dreier Ellipsen abhängig sei. Das letzte Capitel enthält Anwendungen auf Flächen, unter unter Anderen Guldin's Satz und andere allgemeine Sätze, und schliesst mit elementaren Beweisen der Sätze von Jacobi und Jellett über Flächen zweiten Grades.

Csy. (0.)

H. COOK. On the first principles of the calculus.
Analyst II. 185-191.

Elementare Auseinandersetzung der Principien der Differentialrechnung und Herleitung der fundamentalen Differentiale.

Glr. (0.)

Capitel 2.

Differentialrechnung (Differentiale, Functionen von Differentialen, Maxima und Minima).

F. J. STUDNIČKA. Ueber die independente Darstellung der nten Derivation von gebrochenen Functionen einer Veränderlichen. Prag. Ber. 1875. 1-2.

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Die nte Derivation von wird in der Form dargestellt:

v

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u und v

und die numerischen Coefficienten Binomialcoefficienten bedeuten. Der Verfasser gelangt dazu durch Elimination von zwischen den Entwickelungen der Derivationen von im übrigen ist jedoch die Methode nicht mitgetheilt.

und ;

H.

A. FAIS. Nota intorno alle derivate d'ordine superiore delle funzioni di funzione. Battaglini G. XIII. 47-48.

Der Verfasser wendet eine von Götting in Clebsch Ann. III. gegebene Formel zur Entwickelung des nten Differentialquotienten eines Produkts beliebig vieler Functionen auf die Potenz

k

an (siehe F. d. M. II. p. 131), durch deren nten Differentialquotienten in Hoppe's Theorie der independenten Darstellung

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