und der Trefffähigkeit eines Geschützes, sowie zur Berechnung der Anfangsgeschwindigkeit eines Geschosses V CQ für ein bestimmtes Kaliber. Hinzugefügt sind noch einige Tabellen und ein Anhang über die ballistische Linie (siehe Abschn. X. Cap. 4 A.). Schl.

A. FAYE. Note accompagnant la présentation d'une notice autographiée sur la méthode des moindres carrés.

C. R. LXXX. 352-357.

Der Verfasser hebt als ihm eigenthümlich den Umstand hervor, dass er in seinen Vorträgen über die Methode der kleinsten Quadrate den bekannten Ausdruck für die Vertheilung der Beobachtungsfehler ohne weitere theoretische Begründung desselben an die Spitze stelle, als ein Gesetz, dessen Gültigkeit sich rein empirisch erhärten lasse an Beispielen, die den verschiedensten Gebieten entnommen sind.

B.

BIENAYME. Application d'un théorème nouveau du calcul des probabilités. C. R. LXXXI. 417-423.

J. BERTRAND. Remarque. C. R. LXXXI. 458-459.

J. BERTRAND.

Addition à la note relative au théorème de M. Bienaymé insérée pag. 458. C. R. LXXXI. 491-492.

Das genannte Theorem besteht in Folgendem. Es seien n Beobachtungen irgend welcher Art gegeben, und zwar in der Reihenfolge, in der sie gemacht worden sind, dann ist die Anzahl der in der Reihe auftretenden Maxima und Minima oder Sequenzen zwischen den beiden Grenzen

vorausgesetzt, dass n hinreichend gross ist, um Glieder von der

1

Ordnung vernachlässigen zu dürfen, und dass die Beobach

n

tungen sich nicht wiederholen. Die Herleitung ist nicht mitgetheilt, dagegen eine Prüfung jener Formeln an mehreren Beobachtungsreihen von sehr verschiedenartiger Beschaffenheit.

Die beiden Noten von Bertrand enthalten eine auf einfache Betrachtungen gestützte Herleitung des asymptotischen Werthes für die Anzahl der Maxima und Minima einer solchen Reihe. B.

2n

3

H. LAURENT. Sur la méthode des moindres carrés. Liouville J. (3) I. 75-80.

Der Verfasser polemisirt zunächst gegen die namentlich in deutschen Abhandlungen vorkommende Anwendung der bekannten Exponentialfunction für die Vertheilung der Beobachtungsfehler und gegen Herleitung dieser Function aus dem Princip des arithmetischen Mittels, da letzteres zu absurden Consequenzen führe. Sein Hauptgrund ist, dass bei wirklichen Beobachtungen niemals Fehler vorkommen, die eine gewisse Grenze überschreiten. Die Wahrscheinlichkeit solcher Fehler sei also überhaupt gleich Null. Der Verfasser sucht nun das Fehlergesetz empirisch zu ermitteln aus einer Reihe von 1444 Messungen eines und desselben Winkels mit Hülfe eines Pantomètre à lunette. Das Resultat ist, dass die erwähnte Exponentialfunction sehr wohl als angenäherter Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Beobachtungsfehler angewendet werden darf, und zwar mit um so grösserer Annäherung je grösser die Anzahl der Beobachtungen ist.

B.

BELLATI. Intorno ad un modo di semplificare in alcuni casi l'applicazione del metodo dei minimi quadrati al calcolo delle costanti empiriche. Att. di Ven (5) I.

Jg.

Correction to Mr. Monro's note on the inversion of Bernoulli's theorem in probabilities. Proc. L. M. S. VI.

R. A. MEES. Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers einer endlichen Zahl von Beobachtungen. Schlömilch Z. XX. 145-152.

F. R. HELMERT. Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler. Schlömilch Z. XX. 300-303.

Bekanntlich hat Gauss gezeigt, dass der wahrscheinliche Fehler einer endlichen Anzahl von Beobachtungen mit einem verschiedenen Grade von Genauigkeit gefunden werde, wenn man zu seiner Berechnung die verschiedenen Potenzen der Fehler benutzt, und dass unter diesen verschiedenen Werthen der aus den Fehlerquadraten abgeleitete der sicherste sei. Der Aufsatz von Mees versucht nun zu zeigen, dass in dem Gauss'schen Beweise gewissermassen eine petitio principii liege. Die Note von Helmert enthält eine Zurückweisung dieses Vorwurfes, sowie mehrerer Ausstellungen, welche von Mees gegen die Darstellung dieses Gegenstandes in dem Helmert'schen Buche: „Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate" vorgebracht werden.

B.

F. R. HELMert. Ueber die Formeln für den Durchschnittsfehler. Astr. Nachr. LXXXV. 353-366.

Sind die absoluten Beträge der nach der Methode der kleinsten Quadrate ermittelten Verbesserungen von n Beobachtungen, der Durchschnitts-, e der wahrscheinliche Fehler, und m die Anzahl der zu ermittelnden Unbekannten, so wird gewöhnlich gesetzt

9=

Σλ
√n(n—m) '

(Vergl. die Aufsätze von C. A. F. Peters, Astr. Nachr. No. 1034 und von Lüroth, Astr. Nachr. 1740). Der Hauptinhalt des vorliegenden Aufsatzes besteht nun in dem Nachweise, dass die erste Formel nur für m = 1 streng richtig ist, dagegen für m>1 im Allgemeinen einen zu kleinen Werth für 9 liefert, und zwar hat man angenähert

CH. M. SCHOLS. De interpolatie-formule van Tchébychef volgens de methode der kleinste vierkanten. Versl. en

Mededeel. IX. 301-311.

Der Beweis, welcher von Tchébychef für die allgemeine Interpolationsformel (Liouville J. (2) III.) gegeben wird, beruht auf der Lehre von den Kettenbrüchen und ist sehr verwickelt. In obigem Artikel wird eine einfachere auf der Methode der kleinsten Quadrate beruhende Ableitung gegeben.

G.

P. VAN GEER. Over het gebruick van determinanter by de methode der kleinste kwadrater. Nieuw Arch. I. 179-188.

Hier wird gezeigt, wie sich durch die Einführung der Determinanten die Berechnung und Erläuterung der Resultate bei den wichtigsten Aufgaben aus der Methode der kleinsten Quadrate vereinfachen lässt, wie z. B. bei der Auflösung der Normalgleichungen, der Bestimmung der Gewichte der erhaltenen Resultate, der Einführung absoluter Bedingungen.

G.

CH. M. SCHOLS. Over de theorie der fouten in de ruimte en in het platte vlak. Verh. v. Amst. XV.

In dieser Abhandlung wird die Theorie der Beobachtungsfehler in ganz eigenthümlicher Weise behandelt, die sich der von Helmert in seinem Werk: „Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate" und seinen verschiedenen Abhandlungen in Schlömilch's Zeitschrift anschliesst. Doch bebandelt Helmert daselbst allein die Fehler in der Ebene und geht von der doppelten Voraussetzung aus, dass die zusammengesetzten Fehler linear sind und die Folge einer Menge von Ursachen, so dass sie dem Gesetze der Exponenten folgen. In der erwähnten Abhandlung wird von diesen beiden Voraussetzungen gänzlich abgesehen, selbst da, wo zu dem Grenzgesetz übergegangen wird, wovon allein beibehalten wird: die grosse Zahl der Fehler, ohne die mindeste Beschränkung zu machen, weder in Betreff

des Gesetzes der zusammengesetzten Fehler, noch in Betreff des gänzlichen oder niemaligen Vorkommens der Fehler in der geraden Linie. Dadurch werden die Resultate, wenn sie auch in der Hauptsache mit denen Helmert's und anderer Schriftsteller übereinstimmen, allgemeiner.

Der Verfasser behandelt nach einer kurzen Einleitung über die geometrische Darstellung der Fehler nach einander die allgemeinen Eigenschaften der Fehler, den resultirenden Fehler und seine Gesetze und die Grenzgesetze, sowohl im Raume, als auch in der Ebene, und schliesst mit einigen Beispielen und Anwendungen. G.

C. TYCHSEN. Om Beregningen af Livrenter og Livsforsekninger. Zeuthen Tidsskr. (3) V. 49-80, 97-126.

Obwohl die mathematische Theorie des Lebensversicherungswesens noch in vielen Punkten einer rationelleren Behandlung als bisher bedarf, so hat dieselbe doch in neuerer Zeit, besonders durch Einführung von Woolhouse's sogenannter continuirlicher Methode, nicht unwesentliche Verbesserungen erhalten. Herr Tychsen giebt in der vorliegenden Arbeit eine vollständige Entwickelung der verschiedenen Formeln, mittelst deren die Werthe aller gebräuchlichen Versicherungsarten berechnet werden können, namentlich auf Grundlage der von Woolhouse gegebenen Theorie. Der Abhandlung ist ein Abdruck der Morta litätstabellen der Lebensversicherungsanstalt von 1871 beigefügt.

Gm.

J. LEWIN. Aphoristische Bemerkungen zur politischen Arithmetik. 1te Abtheilung. Budapest. Pester BuchdruckereiActiengesellschaft.

Der Verfasser definirt „mathematische Lebensdauer", deren Einführung statt wahrscheinlicher oder mittlerer Lebensdauer er empfiehlt, mit den Worten: „Man versteht darunter jene Zeitdauer, an deren Ende die einmalige Prämie für die allgemeine Capitalsversicherung auf den Todesfall zur Höhe des versicherten