Die zweite der obigen Arbeiten enthält eine sehr klare Darstellung der Theorie der Beobachtungsfehler nach Gauss. Wir heben besonders hervor die Definition der constanten Fehler, der unregelmässigen, der gemischten Fehler, welch letztere von Quetelet und Liagre regelmässige Fehler genannt werden, die Begründung der Methode der kleinsten Quadrate durch elementare Schlüsse, sodann verschiedene Betrachtungen über das arithmetische Mittel und ähnliche Principien (p. 161, 203). Die andere Arbeit bildet eine Ergänzung dazu. Es sind darin die Principien der verschiedenen Theorien der Fehler mit vielem Scharfsinn verglichen. I. Die Methode von Hagen nimmt bei der Darstellung der Fehlertheorie fälschlich an, dass nach einem positiven Fehler die Wahrscheinlichkeit für einen positiven oder negativen Fehler gleich gross ist. Die Methoden von Gauss und Laplace haben ein gemeinsames Postulat, das der Existenz einer analytischen Function von x, welche die Wahrscheinlichkeit eines zwischen Null und liegenden Fehlers darstellt. Die Methode von Gauss nimmt ferner die Richtigkeit des arithmetischen Mittels als Postulat an; die von Laplace setzt voraus, dass die Regel der kleinsten Quadrate, welche nur für eine unendliche Zahl von Gleichungen richtig ist, auch für eine begrenzte Zahl von Werthen richtig bleibt. Beide Postulate sind äquivalent. II. Das Princip des arithmetischen Mittels folgt für eine unendliche Zahl von Werthen unmittelbar aus der Definition der zufälligen Fehler. Man kann dasselbe für zwei Werthe beweisen, indem man von dem Postulat der Existenz einer Wahrscheinlichkeitsfunction ausgeht. Ist dies Princip ferner für drei Werthe richtig, so kann man daraus die Methode der kleinsten Quadrate, und daraus wieder die Richtigkeit des arithmetischen Mittels für eine beliebige Zahl von Werthen ableiten. Die Richtigkeit des arithmetischen Mittels für drei Werthe ist nicht beweisbar, denn es führt auf folgendes Gesetz für die Wahrscheinlichkeit: hate. Das Gesetz der Natur könnte ja aber ein anderes sein. III. Schwierigkeiten hinsichtlich des Maasses für den mittleren Fehler eines Mittelwerthes. Mn. (Wn.) J. V. SCHIAPARELLI. Sur le principe de la moyenne arithmétique. Astr. Nachr. LXXXVII. 55-58. Der hier gegebene Beweis des Satzes vom arithmetischen. Mittel aus einer Reihe von n gleich genauen Messungen a,...a einer und derselben Grösse stützt sich auf folgende Sätze. 1) Die Function F(a,...an) der n Grössen, welche den plausibelsten Mittelwerth aus den n Messungen liefert, muss stets denselben Betrag ergeben, welche Maasseinheit man auch zu Grunde lege; daraus folgt die Bedingung 2) Denkt man sich F und die a als Abscissen von Punkten einer Geraden, so muss die Lage von F unabhängig sein von der Wahl des Nullpunktes; daraus folgt unter Anwendung des Taylor'schen Lehrsatzes 3) Man muss stets dieselbe Aenderung von F erhalten, welche der Grössen a .an man auch um eine beliebig kleine Grösse & variiren lässt; daraus folgt dann ... Diese drei Bedingungsgleichungen führen dann offenbar sofort zu dem Satze, dass F das arithmetische Mittel der a ist. B. J. LUROTH. Vergleichung von zwei Werthen des wahrscheinlichen Fehlers. Astr. Nachr. LXXXVII. 209-220. Die beiden zu vergleichenden Werthe des wahrscheinlichen Fehlers einer Unbekannten, welche nach der Methode der kleinsten Quadrate aus m Gleichungen mit n Unbekannten (m>n) bestimmt ist, werden erhalten, der eine nach dem gewöhnlich angewandten Verfahren, der andere, indem man die Wahrscheinlichkeit sucht, dass die betreffende Unbekannte zwischen zwei gegebenen Grenzen liege, während die andern Unbekannten und das Genauigkeitsmaass alle möglichen Werthe annehmen. Der Quotient der beiden wahrscheinlichen Fehler r, und R, hat die genügt. Durch ein nicht ganz nahe liegendes Verfahren wird hieraus die sehr einfache Ungleichung abgeleitet. r1>R,>r, √ Р P+1 B. L. NATANI. Methode der kleinsten Quadrate. Berlin. Winckelmann. Ein kurzer übersichtlicher Abriss der Methode der kleinsten Quadrate. Im ersten und zweiten Abschnitte werden die zum Verständniss der Methode nothwendigen Sätze aus der Algebra, Integral- und Wahrscheinlichkeitsrechnung entwickelt; im dritten Abschnitte der Zweck der Methode auseinandergesetzt und durch ein Beispiel aus der Praxis der Artillerie erläutert. Der vierte, fünfte und sechste Abschnitt enthalten nun die Ableitung der hauptsächlichsten Formeln, von denen im siebenten interessante Anwendungen gemacht werden zur Berechnung der mittleren Höhen- oder Seitenabweichung eines Geschosses vom Zielpunkte = und der Trefffähigkeit eines Geschützes, sowie zur Berechnung der Anfangsgeschwindigkeit eines Geschosses V CQ' für ein bestimmtes Kaliber. Hinzugefügt sind noch einige Tabellen und ein Anhang über die ballistische Linie (siehe Abschn. X. Cap. 4 A.). Schl. A. FAYE. Note accompagnant la présentation d'une notice autographiée sur la méthode des moindres carrés. C. R. LXXX. 352-357. Der Verfasser hebt als ihm eigenthümlich den Umstand hervor, dass er in seinen Vorträgen über die Methode der kleinsten Quadrate den bekannten Ausdruck für die Vertheilung der Beobachtungsfehler ohne weitere theoretische Begründung desselben an die Spitze stelle, als ein Gesetz, dessen Gültigkeit sich rein empirisch erhärten lasse an Beispielen, die den verschiedensten Gebieten entnommen sind. B. BIENAYME. Application d'un théorème nouveau du calcul des probabilités. C. R. LXXXI. 417-423. J. BERTRAND. Remarque. C. R. LXXXI. 458-459. J. BERTRAND. Addition à la note relative au théorème de M. Bienaymé insérée pag. 458. C. R. LXXXI. 491-492. Das genannte Theorem besteht in Folgendem. Es seien n Beobachtungen irgend welcher Art gegeben, und zwar in der Reihenfolge, in der sie gemacht worden sind, dann ist die Anzahl der in der Reihe auftretenden Maxima und Minima oder Sequenzen zwischen den beiden Grenzen vorausgesetzt, dass n hinreichend gross ist, um Glieder von der Ordnung vernachlässigen zu dürfen, und dass die Beobach n das Genauigkeitsmaass alle möglichen Werthe annehmen. Der Quotient der beiden wahrscheinlichen Fehler r, und R, hat die 1 dx genügt. Durch ein nicht ganz nahe liegendes Verfahren wird hieraus die sehr einfache Ungleichung abgeleitet. r1>R1>r, V p B. L. NATANI. Methode der kleinsten Quadrate. Berlin. Winckelmann. Ein kurzer übersichtlicher Abriss der Methode der kleinsten Quadrate. Im ersten und zweiten Abschnitte werden die zum Verständniss der Methode nothwendigen Sätze aus der Algebra, Integral- und Wahrscheinlichkeitsrechnung entwickelt; im dritten Abschnitte der Zweck der Methode auseinandergesetzt und durch ein Beispiel aus der Praxis der Artillerie erläutert. Der vierte, fünfte und sechste Abschnitt enthalten nun die Ableitung der hauptsächlichsten Formeln, von denen im siebenten interessante Anwendungen gemacht werden zur Berechnung der mittleren Höhen- oder Seitenabweichung eines Geschosses vom Zielpunkte |