et comptées sur une même ligne ou sur des lignes parallèles, celles qui sont affectées du signe, doivent se prendre dans un sens opposé à celles qui sont affectées du signe +, page 104 Remarque sur les signes de la sécante, et note sur le même sujet, 105 Analyse complète du problème où il s'agit de mener par un point pris dans un angle droit, une ligne dont la partie interceptée entre les côtés de cet angle, soit de grandeur donnée, Résolution de ce problème par Newton, pour le cas où le point par lequel doit passer la ligne de grandeur donnée, est à égale distance des côtés de l'angle droit, Construction des expressions algébriques qui appartiennent à des aires ou à des volumes, 106 112 114 Idée fondamentale de l'analyse de Descartes, par laquelle on représente les courbes au moyen des équations à deux indéterminées, Équation d'une ligne droite, d'un cercle, Ce que c'est les coordonnées, leurs axes, que leur origine, 116 117 119 121 Comment on distingue par les signes et, les quatre angles que forment les axes des coordonnées, Ce 122 que c'est que le lieu d'une équation, et comment s'obtient celle d'une courbe quelconque, ibid. L'équation générale du premier degré à deux indéterminées appar tient à une ligne droite, Il faut deux conditions pour déterminer cette ligne, 123 125 126 ibid. 127 Équation d'une droite qui, passant par un point donné, serait parallèle à une droite donnée, Équation de la perpendiculaire abaissée sur une ligne donnée, par un point donné, Note. Sur le signe que doit porter la tangente de l'angle formé par cette perpendiculaire et l'axe des x, ibid. ibid. Pour trouver le point de rencontre de deux droites qui se coupent, il faut supposer que les coordonnées de l'une soient les mêmes que celles de l'autre, 128 Expression de la longueur d'une perpendiculaire abaissée sur ane droite donnée, par un point donné, 129 130 Expressions du sinus, du cosinus et de la tangente de l'angle que deux droites font entre elles, Équation générale du cercle, que l'on obtient en plaçant l'origine des coordonnées d'une manière quelconque, Comment on détermine celui qui passe par trois points donnés, 133 133 Équations du cercle, les plus simples, page 134 Problèmes qui se rapportent à des lignes droites, comprenant ceux des pages 88 et 106, 135 Équations qui donnent la relation qui existe entre les angles et les côtés d'un triangle, 139 Expression de l'aire d'un triangle, au moyen des coordonnées des sommets de ses angles, 142 L'aire d'un triangle ne dépend nullement de sa position par rapport aux axes des coordonnées, on trouve en effet une autre expression qui ne dépend que des côtés, Équation qui fait connaître la relation entre les côtés d'un quadrilatère et ses diagonales, Expression du rayon du cercle circonscrit à un triangle, ibid. 144 145 147 Si dans l'intérieur d'un triangle équilatéral on abaisse une perpendiculaire sur chacun des côtés de ce triangle, la somme de ces lignes sera égale à sa hauteur, 148 En combinant les équations de la droite et du cercle, on détermine les propriétés résultantes de la rencontre de ces lignes, ibid. Application de l'équation qui résulte de cette combinaison à la recherche de plusieurs théorèmes de géométrie, 150 Détermination analytique des tangentes menées au cercle par un point extérieur, et par un point de sa circonférence, Comment on trouve la position que doit avoir une ligne menée par un point donné, pour que sa partie comprise dans un cercle donné, soit aussi donnée, Équation générale des courbes du second degré, Leurs diamètres, 152 154 156 158 Simplification de l'équation quand on la rapporte à ces lignes, ibid. Examen des valeurs que peut prendre l'expression générale des ordonnées dans le cas où la quantité m est positive, Ce que c'est que le centre de la courbe, Construction et forme de la courbe relative à ce cas, Elle se réduit à un point, avant de devenir imaginaire, 160 162. Quand la courbe se réduit à deux droites qui sont en général ses Rapprochement des équations des trois courbes reconnues précédemment: la première se nomme ellipse, la seconde hyperbole, et la troisième parabole,^ Examen du cas dans lequel les quarrés des coordonnées manquent tous deux dans l'équation, Ce que sont les diamètres conjugués, Transformation des coordonnées d'une courbe, page 170 181 Note. Sur l'emploi des angles dans ces formules, Application de cette transformation à l'équation générale du second degré, pour la ramener aux axes des courbes qu'elle représente, 183 Première transformée, 185 Détermination de ses coefficiens et des cas qu'elle embrasse, 187 Deuxième transformée, comprenant l'autre cas de l'équation gé nérale, 189 Ces deux transformées ne donnent que les trois formes déjà remarquées (page 70); la première transformée comprend l'ellipse, dont le cercle est un cas particulier, et l'hyperbole, rapportées à leurs' axes, Ce qu'on entend par le second axe et l'axe transverse, dans l'hyperbole, Ce que c'est que l'hyperbole équilatère, 193 ibid. ibid. 194 ibid. Équation à trois termes dans laquelle la parabole se trouve aussi comprise et rapportée à son xe, ́ ibid Application des transformations précédentes, par laquelle on reconnaît que l'équation du second degré où les quarrés des coordonnées manquent tous deux, appartient à une hyperbole dont on détermine les axes, de grandeur et de position, 195 196 Note. Sur l'équation de l'hyperbole par rapport à ses asymptotes, déduite de l'équation générale du deuxième degré, Trouver l'équation d'une courbe telle, que si l'on mène de chacun de ses points à deux points fixes, ou foyers, des droites, la somme de ces lignes, que l'on nomme rayons vecteurs, soit constamment égale à une ligne donnée, 197 Cette courbe est l'ellipse; sa construction par points, et moyen mécanique pour la décrire par un mouvement continu, 198 Ce que c'est que l'excentricité, 200 Autre construction de l'ellipse par points, ibid. Trouver l'équation de la courbe dans laquelle la différence des rayons vecteurs, est égale à une ligne donnée, 201 Cette courbe est l'hyperbole; sa construction par points, et moyen mécanique pour la décrire, ibid. Trouver l'équation d'une courbe telle, que chacun de ses points, soit autant éloigné d'une droite donnée de position, que d'un point fixe ou foyer aussi donné de position, page 202 Cette courbe est la parabole; sa construction par points et sa description par un mouvement continu, 203 Problème général qui conduit successivement à chacune des courbes du second degré, rapportées à leur directrice, 204 Équations des courbes du second degré, rapportées au paramètre, 205 Dans l'ellipse et l'hyperbole, le paramètre est une troisième proportionnelle aux deux axes, et il est aussi la double ordonnée menée par le foyer, 208 Dans l'ellipse et l'hyperbole, les quarrés des ordonnées sont entre eux comme les produits des abcisses correspondantes, et dans la parabole, comme les abscisses correspondantes, Application de la transformation des coordonnées à la recherche des diamètres conjugués, 20g 210 Un diamètre quelconque étant donné, trouver la position de son conjugué, 215 La somme des quarrés des demi-diamètres conjugués dans l'ellipse, ou leur différence dans l'hyperbole, est égale à la somme des quarrés des demi-axes, ou à leur différence, Les parallelogrammes construits sur des diamètres conjugués, soit de l'ellipse, soit de l'hyperbole, sont tous égaux au rectangle des axes, 220 222 Équations qui font trouver les demi-axes, lorsqu'on connaît les demi-diamètres conjugués et l'angle qu'ils forment, ibid. Dans une ellipse quelconque, il y a deux diamètres conjugués égaux, ibid. Tout système de lignes propre à déterminer les points d'une courbe, Exemple tiré de l'ellipse, 223 224 Équations polaires de cette courbe, de l'hyperbole et de la para bole, Équation polaire qui les comprend toutes trois, 225 226 Démonstration de l'identité des courbes du second degré avec les sections faites dans un cône par un plan, et ce qu'on entend par la section anti-parallèle, 227 Détermination des lignes droites qui coupent ou qui touchent les courbes du second degré, 233 Expression de la tangente de l'angle que doit faire avec l'axe des abscisses une droite, pour toucher une courbe du second degré, 235 Expressions de la soutangente dans chacune des courbes du second degré, Dans la parabole, la soutangente est double de l'abscisse, 236 237 page 238 Construction de la tangente à l'ellipse, 239 Détermination synthétique des tangentes aux courbes du second degré, 240 Relation des angles que la tangente forme avec les deux rayons vecteurs, dans l'ellipse et l'hyperbole, et avec le rayon vecteur et une parallèle à l'axe, dans la parabole, Chaque branche de l'hyperbole demeure toujours renfermée entre les côtés d'un certain angle, sans jamais pouvoir les atteindre Équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes, 248 24 244 246 Si on mène une droite quelconque par un point de l'hyperbole, les parties de cette droite, interceptées entre chaque branche de la courbe et son asymptote, sont égales entre elles, ibid. Construction de l'hyperbole, par points, lorsqu'on a les asymptotes et un point, Des hyperboles conjuguées, 247 248 Du nombre de points qu'il faut pour déterminer d'espèce, de grandeur et de position, une courbe du second degré, ibid. De la construction des équations des degrés supérieurs, par les courbes, Application au quatrième degré, Problème de la duplication du cube, de la trisection de l'angle, 250 ibid 253 254 Méthode générale pour construire les équations d'un degré quelconque, et qui représente les divers principes sur lesquels re pose la résolution numérique des équations, 257 Note. Une expression fractionnaire peut changer de signe, en passant par l'infini, aussi bien qu'en passant par zéro, 260 Comment la construction graphique peut éclaircir et faciliter la résolution numérique des équations, APPENDICE ibid. Contenant les premiers principes de l'application de l'Algèbre aux surfaces courbes et aux courbes à double courbure. Équations du plan et de la ligne droite, Des coordonnées d'un point de l'espace, Equation générale du plan, 263 ibid. 265 |