premier exprime la relation qui existe entre les angles et les côtés opposés. 53. On tire du second, les formules suivantes cos a=cos b cos c+cos A sin b sin c COS b cos a cos c + cos B sin a sin c cos ccos a cos b + cos C sin a sin b } dont les trois premières font connaître un côté par le moyen de deux autres et de l'angle qu'ils comprennent, et dont les trois dernières donnent les angles par le moyen des côtés. 54. Le troisième système produit, de même que le précédent, six formules, qui sont : Les trois premières feront trouver un angle, lorsque l'on connaîtra les deux autres et le côté qu'ils comprennent; les trois dernières donneront chacun des côtés, lorsque tous les angles seront connus. Trigonométrie. 6 édition. 5 55. Le quatrième système, en y faisant toutes les permutations possibles, donne les six formules cosa sin b-cos C sin a cos b cot A= cot B= cot A= cot C sin B sin c cos b sin c-cos A sin b cos c cot B = cot C= sin A sin b sin b cos c-cos A cos b sin c sin A sin c par le moyen desquelles on déterminera deux des angles d'un triangle sphérique, lorsqu'on connaîtra le troisième angle et les côtés qui le comprennent. 56. Le cinquième système enfin conduit aux six formules suivantes : qui serviront à déterminer deux des côtés d'un triangle, lorsqu'on connaîtra le troisième et les deux angles entre lesquels il est compris. 57. Les formules conclues des systèmes, (B) (B′), (D) et (D'), (53-56), méritent la plus grande attention, tant par leur élégance que par la propriété qu'elles ont de faire connaître si l'arc ou l'angle qu'elles expriment est moindre ou plus grand qu'un quadrans ou qu'un angle droit, propriété que n'auraient point les expressions des sinus des mêmes arcs. En effet, le sinus d'un arc étant le même que celui du supplément de cet arc, tant par sa valeur que par son signe, toutes les fois que l'on ne connaît que le sinus d'un arc, il n'est pas possible de savoir si cet arc doit être plus petit ou plus grand qu'un quadrans; mais lorsqu'ona le cosinus ou la cotangente, et qu'on sait d'ailleurs que cet arc ne peut être égal à la demi-circonférence, ce qui est le cas des côtés des triangles sphériques et des arcs qui mesurent leurs angles, on voit par le signe du résultat, sil'arc cherché est compris ou non entre 19 et 29: le cosinus et la cotangente ont le signe dans le premier cas, et le signe dans le second. Si donc on a soin de donner aux quantités connues qui entrent dans les formules rapportées ci-dessus, les signes qui doivent les affecter, d'après la valeur des arcs auxquels elles appartiennent, le signe du résultat fera connaître l'espèce du côté ou de l'angle cherché; c'est-à-dire s'il est plus petit ou plus grand qu'un quadrans, s'il est aigu ou obtus. 58. Ces mêmes formules se simplifient beaucoup lorsque le triangle proposé est rectangle ; c'est-à-dire lorsqu'un de ses angles est droit. En effet, si l'on suppose que C 19, on aura et en ne prenant, parmi ces formules, que celles qui diffèrent essentiellement, on aura les six que voici : > qui, par les renversemens dont elles sont susceptibles suffiront pour résoudre les triangles sphériques rectangles en C, et dans lesquels le côté c, opposé à l'angle droit, se nomme hypotenuse, aussi bien que dans les triangles rectilignes. On obtiendrait des formules analogues pour le cas où le triangle sphérique proposé aurait un de ses côtés égal au quadrans; mais je ne m'y arrêterai pas. 59. Pour pouvoir appliquer commodément les logarithmes aux calculs des triangles sphériques, il faut transformer les formules des n° 53 et 54, en d'autres dont le numérateur et le dénominateur soient décomposés en facteurs; et c'est ce qu'Euler a fait d'une manière aussi simple qu'élégante. 1°. De l'expression cos A cos acos bcos c sin b sin c comprise parmi celles du n° 53, on tire maiscos pcos q=-2 sin (p+q) sin (p—q) (27): donc tang = sin (b-c+a) sin (b-c-a) sin(a+b+c) sin (a — b— c )' En opérant ainsi sur les autres expressions du même n° 53, on parviendra à des résultats semblables. 2o. Prenant dans le n° 54, l'expression |