En résolvant cette équation par rapport à l'une de ces lettres, par rapport à z, par exemple, on trouvera ZV{(K2+CL)+2(EK—CG)x+2(FK—CH) y +(E2—AC)x2+2(EF—CD)xy+(F2—BC) ya}. par + Ce résultat fait voir qu'au même point du plan des x et y, répondent deux points sur la surface proposée, et que par conséquent chacune des valeurs de z produit la substitution de toutes les valeurs possibles de x et de y, une portion de surface qui est, par rapport à Ja surface totale, ce que sont les branches d'une courbe à l'égard de cette courbe: on donne à ces portions le nom de Nappes. On remarquera d'abord que la partie rationnelle de la valeur de z exprime l'ordonnée d'un plan tel que si l'on en faisait partir les ordonnées de la surface, en posant l'indéterminée u aurait deux valeurs égales, l'une positive et l'autre négative: le plan dont il s'agit est donc à l'égard des surfaces du second degré, ce qu'est un diamètre par rapport aux courbes de ce degré. On se ferait difficilement l'idée de la forme que doit affecter une surface dont on a l'équation, si on n'en considérait que des points isolés; mais au lieu de cela, on imagine une infinité de sections faites dans cette surface par des plans, que pour plus de simplicité on prend parallèles à l'un des plans coor donnés : le cours de ces diverses courbes étant connu, leur continuité rend sensible la forme de la surface proposée. Tous les points d'un plan mené parallèlement à celui des x et y, à une distance désignée par a, étant compris dans l'équation z = a, si on substitue cette valeur dans l'équation générale des surfaces du second degré, le résultat, Ax2+By2+2Dxy\ +2(Eu+G)x+2(Fa+H)y. =L-2Ka-Ca3, exprimera la relation qu'ont entre elles les coordonnées du plan des x et y, pour les points de la surface proposée, distans de ce plan de la quantité a, et appartiendra donc sur le plan des x et y, à la projection de la courbe, dans laquelle le plan dont l'équation est za, rencontre la surface du second degré; et comme ce plan est parallèle à celui des r et y, il est évident que la section faite dans la surface même ne différera pas de sa projection sur le plan dont il s'agit. En prenant pour a diverses valeurs, on aura diverses sections parallèles au plan des x, y; si l'on fait a = 0, l'équation résultante }= Ax2 + By2+ 2Dxy =L, donnera la courbe du 'second degré, dans laquelle la surface rencontre ce plan. On déterminerait de la même manière les équations des sections parallèles au plan des x et z et à celui des y et z. On conçoit facilement, et on en a d'ailleurs vu l'exemple sur la sphère (184), que les surfaces, sui vant qu'elles sont placées d'une manière plus ou moins symétrique par rapport aux axes des coordonnées, ont des équations plus ou moins simples, et que par conséquent pour analyser les différentes espèces de surfaces, que peut représenter l'équation générale de celles du second degré, il faut d'abord la débarrasser des termes qui ne dépendent que de la situation particulière des axes des coordonnées, ce qui peut se faire, soit en discutant le radical, d'une manière analogue à celle qu'on a suivie pour les lignes du second degré, dans les n° 111 120, soit en construisant des formules générales pour la transformation des coordonnées dans l'espace, et en employant, comme dans les n° 125 — 127, les quantités relatives à la position des axes, à simplifier autant qu'il est possible l'équation générale. On peut consulter pour ces détails, qui sortent entièrement des Élémens, le premier volume de mon Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral. 191. Je ferai remarquer seulement qu'on peut tirer du n° 185, l'équation du cône droit, placé dans une situation quelconque par rapport aux plans coordonnés. En effet, le cône droit étant engendré par le mouvement d'une droite assujétie à tourner autour d'une autre, en faisant avec elle un angle constant, si on désigne para, ß, y, les coordonnées du sommet, qu'on prenne pour la droite fixe ou l'axe du cône, les équations x-α= a(z), pour la droite mobile ou le côté du cône, les équations comme il doit être constant, on le représentera par c, puis on observera que a, b appartenant à l'axe du cône, désignent des quantités connues, et que en faisant, pour abréger, Vi+a2 + b2 = m. (*) Il est aisé de voir que si l'on faisait z=o, dans cette équation, le résultat, qui appartiendrait à la section du cône par le plan des x ety, prendrait la forme de l'équation générale du second degré à deux inconnues, et qu'on pourrait par ce moyen montrer algébriquement l'identité des courbes du second degré avec les sections faites dans un cône droit par un plan; mais cette voie serait beaucoup plus compliquée et moins générale que celle qu'on a suivie dans les num. 152 -1 156, puisqu'on y a considéré un cône quelconque. D'ailleurs, le calcul pour un cône oblique à base circulaire, se trouve dans l'Appendix de superficiebus, placé à la fin du second volume de l'Introductio in analysin infinitorum d'Euler, imprimée en 1748. Si Si on place le sommet à l'origine des coordonnées, Si on fait coïncider l'axe du cône avec l'axe des z, il vient a=0,b=o, m=1, puisqu'on a sur cet axe, y=0,x=0, quel que soit z; et l'équation cidessus se réduit à de laquelle on tire, par l'élévation au quarré, z2(1 — c2) = c2 (x2+y3). En faisant dans cette équation zn, elle devient n2(1-c2) = c2(x2+y2), équation qui appartient à un cercle dont le centre est dans l'axe des z, et dont le rayon est ην c Il suit de là que toutes les sections faites par un plan parallèle à celui des x et y, dans le cône proposé, sont des cercles, ce qui est d'ailleurs évident par la nature de ce cône. On tire de l'équation ci-dessus, +y2; il est facile de voir que V1c est le sinus de l'angle fait le côté du cône avec l'axe des z, et que par Trigonométrie. 6o édition. que 19 |