162. Quelqu'élégante que doive paraître la méthode employée ci-dessus, pour mener les tangentes aux courbes du second degré, je crois ne pas devoir passer sous silence les solutions synthétiques que les Anciens ont données de ce problème, et je vais les exposer succinctement.

Fig. 52. 1°. Par le point M, pris sur l'ellipse, fig. 52, on mènera les deux rayons vecteurs FM et F'M; on prolongera l'un d'eux, F'M par exemple, d'une quantité MG égale à FM; on tirera ensuite FG, et la droite MH perpendiculaire sur le milieu de FG, sera tangente au point M; car elle n'aura que ce point de commun avec la courbe. En effet, si l'on prend un autre point quelconque N sur cette droite, et qu'on tire les droites FN, F'N, on aura

ce qui revient à

F'N+NG>F"G,

F'N+FN>F'M + FM>II' ;

car par la construction MG FM, NG=FN; et comme il est aisé de voir que pour les points placés au-dedans de l'ellipse, la somme des distances à chacun

des

des foyers est moindre que le grand axe, il suit de ce qui précède que le point N est hors de l'ellipse, puisque la somme de ses rayons vecteurs est plus grande que l'axe II'.

Cette construction montre aussi que les angles FMH, F'MN, formés par les rayons vecteurs et la tangente, sont égaux, et que la normale au point M, diviserait en deux parties égales l'angle FMF'.

2o. Lorsque le point proposé M est sur l'hyperbole, fig. 53, il faut porter le plus petit rayon vecteur FM, Fig. 53. sur le plus grand F'M, et non pas sur son prolongement; achevant la construction comme ci-dessus, aura pour ce cas

FN<FG+NG<FG+FN,

d'où il suit

F'N-FN<F'G<F'M-FM,

on

ce qui prouve que le point NV n'est pas sur l'hyperbole. Il n'est pas placé dans l'intérieur de cette courbe, car il faudrait, pour que cela fût, que la différence des distances à chacun des foyers surpassât le grand axe. En effet, si on tire F'm, on a

Fm

Fm F'm + Mm · FM,

et comme F'm + Mm surpasse F'M, il s'ensuit

L'égalité des angles FMH et F'MH, ou RMN, ré–

sulte encore de cette construction.

3°. Lorsque le point M est sur une parabole, fig. 54, Fig. 54. il n'y a plus qu'un rayon vecteur, mais l'autre est remplacé par la droite QM parallèle à l'axe IB, et le point Q tient lieu du point G, puisque QM=FM. Considérant ensuite un point NV placé avant ou après le contact, Trigonométrie. 6 édition.

16

on a en même temps QN et FN > ON; le point N est donc hors de la courbe.

De la construction ci-dessus on déduit l'égalité des angles FMH, QMH; et il faut observer que le dernier est égal à NME, formé par la tangente et la droite ME parallèle à l'axe IB.

Si on appliquait le calcul à ces constructions, on trouverait les résultats obtenus dans le numéro précédent.

163. La considération des tangentes de l'hyperbole conduit à une particularité très-remarquable, de laquelle il résulte que quoique son cours s'étende à l'infini, chacune de ses branches demeure néanmoins toujours renfermée entre les côtés d'un certain angle, sans pouvoir jamais les atteindre, ainsi qu'on le voit dans la fig. 67. Cette circonstance, qui s'est présentée d'une autre manière dans le n° 118, se retrouve encore en observant la marche de la soutangente PT, à mesure que le point de contact M s'avance sur la courbe et s'éloigne du point I, ou, ce qui est la même chose, à mesure que l'abscisse OP augmente. En désignant

; et comme

x

On voit évidemment par ce résultat que plus x croît plus OT' diminue, et plus le point T s'approche du point O, qu'il ne peut cependant jamais atteindre, puisqu'une fraction ne peut jamais devenir absolument nulle, tant que son numérateur ne s'anéantit pas; le point O doit donc être regardé comme la limite vers

laquelle le point T tend sans cesse par le progrès de l'abscisse. Il faut examiner maintenant les changemens qu'éprouve, dans les mêmes circonstances, l'angle MTP qui détermine la situation de la tangente par rapport à l'axe des abscisses. La tangente trigonométrique de cet angle a pour expression

deux termes par x, elle tend nécessairement vers la

b

a2 x2

quantité à mesure que la fraction diminue, ou

4

a

à mesure que x augmente; l'angle MTP ne peut donc diminuer indéfiniment, et la limite qu'il ne saurait atteindre, mais dont il s'approche sans cesse, est

l'angle EOI, dont la tangente trigonométrique est

b

a

;

l'hyperbole ne peut donc jamais parvenir à toucher la ligne EO, quelque prolongées qu'on les suppose l'une et l'autre.

Pour construire l'angle EOI, il faut prendre sur l'axe II' une abscisse à volonté, le demi-axe OI, par exemple; et le triangle rectangle EOI donnant EI OI tang EOI, on aura

puisque OI a. Élevant donc au point I la perpendiculaire EI=b, la droite OE, qui joindra les points O et E, sera la limite de toutes les tangentes de la branche IK de l'hyperbole j'ai déjà dit que cette

:

limite se nomme asymptote. Il est évident qu'il en existe une seconde, Oe, placée au-dessous de l'axe II', faisant avec cet axe le même angle que la première, et servant de limite aux tangentes de la branche Ik.

164. Il ne sera pas inutile de montrer comment on passe de l'équation de l'hyperbole relative à ses axes, à celle qui a lieu par rapport aux asymptotes. Pour cela, que l'on mène par le point M, parallèlement à l'asympptote Oe, une nouvelle ordonnée QM, et que l'on fasse QOt, QMu; l'angle EOI compris entre l'axe des t, QO, et celui des x, II', aura évidem¬ ΟΙ

ment pour cosinus

OI=a, IE=b,

OE' › pour sinus

il en résultera (122),

ΟΙ

IE

OE=√oi +IE=√ a2+b2,

Considérant ensuite l'axe des u, Oe, on trouvera