courbe. La supposition de qo, introduite dans l'équation p2 + q2=1, donne

et cette équation, combinée avec m2 + n2 = 1, détermine net m. L'équation B-4aco, détermine aussi a, lorsque Best connu; mais cette dernière quantité reste susceptible de telle valeur qu'on voudra.

143. Les remarques précédentes conduisent à cette question: un diamètre quelconque étant donné, trouver la position de son conjugué. On la résoudra en observant que lorsque dans la figure 50 du numero 122, Fig. 50 l'angle CAB, ou celui que font entre eux les axes des coordonnées primitives x, y, est droit, les triangles P"A"R et P"MQ deviennent rectangles, l'un en R,

l'autre en Q; d'où il suit que m=

AR

AP"

représente

le cosinus de l'angle P"A"R_ou_B"A"B′, et que

n=

P"R
AP"

en est le sinus; que p=p"M
P"Q

représente

QM

le cosinus de l'angle MP" Q ou C"A"′′B', et que q="M

en est le sinus.

Si l'on rapporte ces mêmes dénominations sur les figures 58 et 59, en prenant II' pour l'axe des x, Fig. 58 OF pour celui des t, et OH pour celui des u, il et 59.

viendra

et commé les équations

a2nq+b2mp=0,

a2nq-b2mp=0,

obtenues dans les n° 140 et 141, peuvent être mises

Fig. 58.

le signe supérieur se rapportant à l'ellipse, et l'inférieur à l'hyperbole on déterminera donc aisément l'un desangles FOI et HOI, quand l'autre sera connu.

:

144. On peut substituer dans l'ellipse, fig. 58, aux angles FOI, HOI, les coordonnées des points Fet H, car si l'on désigne

fera connaître soit et ß, soit et B', c'est-à-dire l'un des points F, H, quand l'autre sera donné.

Dans l'hyperbole, fig. 59, a et 6 n'appartiendront Fig. 59. plus à un point de la courbe, puisque le diamètre OF ne la traverse pas; mais comme il ne s'agit ici que de la direction de ce diamètre, on peut prendre au lieu du point F, le point R, correspondant à l'abscisse OI, et faire en conséquence

En déterminant

aßß' — b2α = 0.

par son moyen, cette équation fera connaître le point R, mais il faudra la combiner

avec

si c'est le point H que l'on cherche.

145. Dans la parabole, on a q=0; il suit de là que l'axe des u, OH, fig. 60, est parallèle à celui des x, Fig.60. et que sa position ne dépend que du point O, où il rencontre la courbe. Ce point se trouve déterminé par la quantité a, laquelle représente évidemment l'abscisse IG, qui répond, sur l'axe IB, au point de la courbe où l'on a en même temps to, u= = 0; et 20 l'équation" donne alors la tangente trigonomém B trique de l'angle compris entre l'axe des t et celui des u. Je ferai remarquer en passant, que lorsqu'on a trouvé la position du diamètre qui est le conjugué d'un diamètre donné, on a celle de la tangente de la courbe, au point où elle rencontre ce dernier, point

qu'on peut prendre arbitrairement. En effet (121); dans l'ellipse et l'hyperbole, fig. 58 et 59, le diamètre OF est parallèle à la tangente HT; et dans la parabole, fig. 6o, ce diamètre est lui-même tangent à la courbe en O.

Réciproquement, quand on sait mener la tangente dans un point quelconque de la courbe, on en conclut sur-le-champ la position du diamètre conjugué.

dont la première appartient à l'ellipse, et la seconde à l'hyperbole, les lettres a' et b' représentent les deux demi-diamètres conjugués; en effet, quand t=0, il

vient

u=d ou OH=d, fig. 58 et 59;

et lorsque uo, il vient

ce qui donne, pour l'hyperbole comme pour l'ellipse, OF=b' (128).

Il est facile de voir que les quantités m, n, p, q, peuvent, au moyen des équations m2+n2 = 1, p2 + q2 = 1; et de celles qui résultent des expressions de a'2 et de b'a, être éliminées de l'équation de condition qui détermine la position respective des diamètres conjugués, et qu'on doit parvenir à une relation entre ces lignes et les demi-axes. Le calcul s'effectue fort simplement de la manière suivante :

On tire d'abord des expressions de a" et b', relatives à l'ellipse (140), les équations

a'3a2q2 + a22b3p2 = a2b2,

b'2a2n2+b22b2m2 = a2b2 ;

et en y joignant respectivement

q2+p2= 1, n2 + m2 1

on aura deux systèmes d'équations, l'un en qo et p2, l'autre en n2 et m2. Le premier système donne surle-champ,

a2b2 — a2b2 b2 (a2 — a'2) a'3a2—a′2b2 ̄ ̄ ̄ ̄ a'2(a2— b2 )' a'2a2— a2b2 a2 (a22 — b2) p2=a'2a2—a22b2— a'2 (aa—b2 )'

pour obtenir n2 et m2, il suffit de changer d' en b' dans ces valeurs, et il vient

; car

Si l'on substitue dans cette dernière, les valeurs de n3, m2, q2, p2, on pourra effacer les dénominateurs ils seront les mêmes dans les deux membres ; et on aura (a2 — a′2) (a2 — b'2)=(a′2 — b2) (b'2 — b2). Développant, réduisant et décomposant en facteurs, il viendra

(a4 — b4) —— (aa — b2) '(a'2 + b′2) = 0 ; puis supprimant le facteur commun a2-b2, on trouvera enfin

a''+b'2— a2+b2, ou OF+OHOI + OL.