ces mêmes équations à

2A'a' + Dn+Em = 0,

A'd+(Dn+Em) a +(Dm—En) B'—F=0,

et la transformée en t' et u', à

A't' E'u'.

On simplifie encore les équations entre a et b′, en retranchant la seconde de la première multipliée par a, et en observant que l'hypothèse Co donne

=

Enfin l'hypothèse Co, qui répond à 4AC B3, étant établie dans les résultats du n° précédent, les

Lorsque Dm - En

=0, on a E' =o, et les équations (a) ne renfermant plus que l'inconnue a', peuvent ne pas s'accorder; mais par cette hypothèse et en y faisant Co, la transformée en t et u (p. 188), prend la forme

A

128. Tous les cas de l'équation générale

Ay2 + Вxy + Сx2 + Dy + Ex =F,

les deux dernières répondant au seul cas où 4AC=B", et la première à tous les autres.

Les trois formes indiquées dans le n° 120, se retrouvent dans les deux premières équations ci-dessus, avec la seule différence que les coordonnées sont maintenant perpendiculaires entre elles; et pour cette raison on appelle axes les diamètres auxquels sont alors rapportées les courbes que représentent ces équations, dont je vais rappeler les circonstances principales.

1o. Si les quantités A et C' sont toutes deux positives, ce qui répond aux cas de l'équation générale, dans lesquels 44C — B2 a le signe +, la transformée

On en trouve les demi - axes OI et OL, fig. 52, Fig. 52.

en cherchant la valeur de u lorsque to, et celle

de t, lorsque uo: on obtient ainsi

et représentent ces lignes par a et b, on en conclut

résultat qui est semblable à celui du n° 115, et qui se construit de même.

Le cas actuel comprend aussi l'équation du cercle, qui se présente quand C′=A', puisqu'alors la transformée devient

A' (tu)=F, ou t2 + u3 =

et que les coordonnées sont à angle droit.

F

A

L'équation At+ CuF devient absurde quand, A et C demeurant positifs, F est négative; mais elle peut se vérifier en faisant to, uo, lorsque Fo, et ne représente alors que le point où est l'origine des coordonnées : c'est l'ellipse réduite à son centre (116). En mettant dans la valeur de F' (pag. 185) celles de a et de B, on exprimera sans peine, par les coefficiens de l'équation (1), la condition qu'elle doit remplir pour signifier quelque chose.

2o. Si A' et C sont de signes différens, ce qui ré– pond au cas où 4AC - Ba a le signe, l'équation en t et u prend nécessairement une de ces formes:

et si on met pour Aet Cleurs valeurs en a et b,

il

Ces deux équations appartiennent à des hyperboles (120); mais la première est traversée par l'axe des t et non par celui des u, parce qu'on ne peut y avoir to: le contraire a lieu pour la seconde.

Il faut remarquer que quoique la valeur t-b3, qui répond à u= o, dans la seconde, soit imaginaire, on ne laisse pas d'élever au centre O, fig. 53, une per- Fig. 53. pendiculaire OL=√bb, et que, par analogie avec l'ellipse, on appelle second axe la ligne LL' double de OL; mais on en distingue, par le nom d'axe transverse, la ligne II' qui rencontre la courbe, ce que ne saurait faire la ligne LL'.

Lorsque C′ = A les axes deviennent égaux, et l'hyperbole est équilatère.

Il est visible que quand F'o, les équations de l'hyperbole se réduisent à

et ne représentent plus que deux lignes droites (118).

3°. Quand on a 4AC B2, la transformée étant

2

appartient à une parabole qui rencontre son axe IB; fig. 54, à l'origine des coordonnées t'et u'.

Trigonométrie. 6e édition

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Fig. 54.

Quand E'o et que les équations (a') ( page 190) s'accordent, il vient to, résultat qui, donnant deux fois to, indique l'axe IB sur lequel les branches de la parabole tendent à se réunir, lorsque E' diminue. La dernière transformée

At+D't F,

ne donnant aussi pour t que deux valeurs déterminées, indique deux droites parallèles à l'axe des u. Enfin il est à propos de remarquer que l'équation

A't2+C'u2-E'u' =0 (127) ̊,

est commune à l'ellipse, à l'hyperbole, et à la parabole; on a la première de ces courbes quand A. et C' sont de même signe, la seconde, lorsqu'ils sont de signes différens, et la troisième, lorsque C = 0.

Le point sur lequel se trouve l'origine des coordonnées étant placé à l'une des extrémités de l'axe, se nomme le sommet. Dans l'ellipse et dans l'hyperbole, il y a deux sommets marqués I et l', fig. 52 et 53; la parabole n'en ayant qu'un seul, fig. 54, n'a point de centre, et c'est pour cela que son équation ne saurait prendre la forme

A't2 + C'u2 — F.

129. Après avoir reconnu par les formules des n° précédens, à quelle espèce de lignes se rapporte tel cas particulier qu'on voudra de l'équation générale, on a encore besoin, pour tracer cette ligne, d'établir les axes des coordonnées de la transformée, par rapport aux axes primitifs, et de construire les quantités A′, C', F ou E'; c'est à quoi le lecteur tant soit peu habitué à particulariser des formules générales, ne sau