par m dans le n° 111, soit positive, et je mets l'expression pangs-mq's sous la forme pour n'avoir plus à considérer que celle-ci : de laquelle on peut faire disparaître le terme où s n'est qu'au premier degré, en prenant n=S n mq ( Elém. d'Alg. 209.); et après la substitution et la réduction, elle devient montre que l'origine des u doit être placée en arrière et on voit que l'expression de t sera réelle, tant que Ces dernières valeurs indiquent donc les intersections de la courbe avec le diamètre DE; et en les portant de chaque côté du point O, à cause de leurs signes, on obtiendra les points I et I' placés à égale distance du premier. Au-delà de ces points, la quantité devenant négative, les ordonnées t seront imaginaires, la courbe n'aura aucun point correspondant aux abscisses plus grandes que OI et OI'; elle sera donc renfermée dans l'espace compris entre les lignes IH et I'H', menées par les points I et l', parallèlement aux ordonnées. = 114. Les deux valeurs de ten u ne différant que par leur signe et demeurant les mêmes soit qu'on prenne u positif ou négatif, il s'ensuit qu'à l'abscisse ON' ON, répond l'ordonnée N'M" égale à NM' et placée en sens contraire, ensorte que les triangles M"N'O, et M'NO, sont égaux, et que par conséquent la droite M'M" est partagée en deux parties égales au point O. Cette propriété dont le point O jouit par rapport à tous les points de la courbe, lui a fait donner le nom de centre, par analogie avec le centre du cercle; mais pour les Trigonométrie. 6 édition. 11 autres courbes les rayons ne sont égaux que deux à deux, parce que les diamètres sont inégaux. 115. La forme de la courbe que représente l'équation entre t et u, se reconnaît aisément par la construction de cette équation; et pour l'effectuer, je fais d'abord Prenant alors a' pour le rayon d'un cercle ayant son centre au point 0, u pour l'abscisse, le facteur au exprimera l'ordonnée de ce cercle, élevée perpendiculairement à OI. A l'égard du facteur Vmq2, il ne doit représenter qu'un rapport, si l'on veut avoir égard à l'homogénéité des expressions (71) ; je le désignerai donc par, et j'aurai par conséquent b' On voit ainsi que l'ordonnée NM s'obtiendra en cherchant le quatrième terme de la proportion a'b' :: Va-u: t. Lorsqu'on aura déterminé la grandeur de t, on la portera le long de la ligne MM', tant au-dessus qu'au-dessous de DE, à cause du signe ±. Il est évident que la courbe résultante de cette construction sera fermée comme le cercle, et ne s'étendra que dans l'espace compris depuis ua' jusqu'à u = -a', puisqu'au-delà de ces limites, le radical ou l'ordonnée du cercle sera imaginaire. La plus grande valeur que puisse avoir l'ordonnée ť, est visiblement celle qui répond au point O, pour lequel uo; on a dans ce cas t=±b': prenant donc les droites OL et OL' égales à b', les points Let L' seront les limites de la courbe dans le sens de ses ordonnées, comme les points I et I' le sont dans celui des abscisses. 116. Il est important de remarquer que si la quantité représentée par a'2 était négative, le radical Va—¿a demeurerait toujours imaginaire, et l'équation proposée ne saurait exprimer alors aucune ligne. En remontant à la valeur de a', qui est pm+no m2q2 'on verra qu'elle serait négative si p était affecté du signe-, et qu'on eût en même temps pm > n2. Quand dans ce cas pmn, il vient (115) d = 0, b'= 0; mais on a toujours séquent b' mq, et par con équation à laquelle on satisfait en posant to, u=0: on peut donc dire que la courbe se réduit alors au seul point 0, où to, uo, et que ce point est la limite vers laquelle tendent, à mesure que les diamètres II' et LL' diminuent, les courbes données par l'équation ci-dessus. R et en pm + n2 — u3); m2q* 4mt2+ m2 q3u2 — pm—n2 = 0. Lorsque p est négatif, elle devient 4mt2 + m2q3u2 +pm—n2=0; et quand pm>n2, son premier membre étant la somme des trois quantités essentiellement positives, puisqu'on suppose que m est aussi positive, il ne peut devenir nul que dans le cas où l'on aurait séparément les trois équations 4mto, m3q3u2o, pm- na = o. On peut satisfaire aux deux premières en faisant to, u=0; mais la dernière exprime une condition sans laquelle la proposée est tout-à-fait absurde. 117. Je suppose à présent que m soit négative; la quantité p-2nqs-mq's deviendra p—2nqs+mq3s2=mqa {mq on fera disparaître le terme 2n mq 2n mq s+s2}; S en prenant Sut ; et la quantité qui représente DO, mq mq Fig. 47. fig. 47, ayant ici le signe+, se portera sur la partie DF, affectée aux abscisses positives. On aura ainsi le centre 0, et l'équation proposée deviendra |