figures, qu'à la relation qui existe entre les trois côtés d'un triangle rectangle (*). Soit, pour premier exemple, cette question: Deux lignes droites, AE et DE, fig. 41, étant don Fig. 41. nées par les angles qu'elles font avec une troisième AB, et par la partie AD qu'elles interceptent sur cette troisième, trouver sur une ligne AC, perpendiculaire à AB, un point G, par lequel, menant une droite GK, parallèle à AB, la partie HK, comprise entre AE et DE, soit d'une grandeur donnée. Pour former les équations des droites AE et ED, je nomme a et a' les tangentes des angles EAD et EDA, qu'elles font respectivement avec la droite AB; je prends celle-ci pour l'axe des abscisses dont je place l'origine au point A, ainsi que celle des ordonnées y que je conçois parallèles à AC; et je fais AD=a. La première droite aura pour équation yax, puis-. qu'elle passe par le point ; la seconde devant passer par le point D, pour lequel on a 10 en observant que y diminue tandis que x augmente, et que par conséquent a' doit être pris négativement : on aura donc ces deux équations: yax, y = — α (x+α), (*) Dans les notes qu'il a placées à la suite de ses Elémens de Géométrie, M. Legendre déduit cette relation des premières conséquences de la superposition des triangles égaux, par un moyen trèsélégant; mais les considérations qu'il emploie pour cela sont malheureusement trop abstraites pour pouvoir servir de base à un livre élémentaire, et porter dans l'esprit cette conviction intime qui résulte des notions reçues immédiatement par les sens. : Pour obtenir les points H et K, où les droites qu'elles représentent rencontrent la ligne GK, parallèle à AB, il suffit d'y faire y AG; si donc on pose AG=t, on aura t=ax, ཨ་་་ = > t = -α (x — α) : prenant la valeur de x dans chacune de ces équations, il viendra 40 aa Ces expressions sont celles des abscisses Ahet Ak, dont la différence donne hk HK, à cause des parallèles ; et désignant par m la grandeur que doit avoir HK, on trouvera Telle est la valeur de AG, qui satisfait à la question proposée. 97. Je suppose qu'au lieu de donner à la ligne HK une grandeur connue, on demande qu'elle soit égale à la ligne AG, ce qui revient à inscrire un quarré dans un triangle (66). Dans ce cas, au lieu d'égaler à m l'expression de HK, il faudra l'égaler à t, ce qui donnera 98. Soit encore le problème suivant, déjà résolu au n°78: D'un point E, fig.33, placé comme on voudra, Fig. 33. mener une droite de manière que la partie D'F', de cette droite, interceptée entre deux lignes qui forment entre elles un angle droit BAC, soit d'une grandeur donnée. - Si a et ẞ désignent les coordonnées du point donné Ę, y—b — — a (x-a) sera l'équation de la droite ED', menée par ce point. Pour obtenir la longueur de D'F', il suffit de déterminer AD' et AF", c'est-à-dire la valeur de y lorsque xo, et celle de x lorsque yo, hypothèses qui fournissent les équations 2 et comme F'D' = √AD'2+AF22, il en résulté F'D' = √ (b+aa)2+ — (B+a«)a βλαα a posant F'D' =m, et élevant au quarré pour faire disparaître le radical, il vient · Cette équation étant développée et ordonnée rapport à la lettre a se changera en par et monte, comme on voit, au quatrième degré; mais si l'on fait ẞa, c'est-à-dire, si l'on prend le point E à égale distance des deux axes AC et AB, elle devient et rentre dans l'équation (3) du n°78, lorsqu'on change a en z et a en a. 99. Je fais maintenant l'application des formules que j'ai trouvées pour la ligne droite, à la recherche des principales propriétés du triangle. Je prends à cet effet Fig. 42. deux points M et M', fig. 42, formant, avec l'origine, un triangle quelconque ; je désigne les coordonnées du premier point par........, ß, celles du second par......a', B': les distances AM, AM', MM', qui forment les côtés de ce triangle, seront, d'après le numéro 88, exprimées respectivement par Vä2 +ß3, Vá2 + B'3, V (a-a)2 + (B′ — ß)3. Si l'on fait AM➡c, AM'⇒ c', MM′ = c", on aura ces équations: et si on retranche la dernière de la somme des deux premières, il viendra En faisant le rayon r1, comme celui des tables des sinus, et substituant à la place des quantités a2+ B2; a22+B22, aa'+BB', leurs valeurs c, c'a, il viendra c2 + c22 c"a COS MAM' 2cc équation qui donne une relation entre les trois côtés du triangle MAM' et l'un de ses angles. Si l'on fait attention que l'angle MAM' est opposé au côté MM'c", on sera convaincu qu'on doit avoir pour les angles AMM' AMM, respectivement opposés aux côtés AM'c', AM-c, les équations En désignant donc par ", 2, 7, les angles MAM', AMM, AMM, on obtiendra les trois équations sui vantes : c2 + c22 — 2cc′ cos y"=c"2 - c2 + c"2 acc" cosy = c22 (A). Si l'on ajoute ensemble la première et la seconde de ces équations, puis la première et la troisième, puis la seconde et la troisième, on obtiendra' trois résultats qui deviendront respectivement divisibles par 2c, 2c, ac", lorsqu'on aura effacé les termes communs aux deux |