et on tirera des deux dernières équations sin 3a et cos 3a, lorsque sin 2a et cos 2a seront calculés.

2 sin a cos a

12. L'équation sin 2a=

conduit aussi

R

du sinus d'un arc a, à l'expression du sinus de sa moitié.

Si l'on remplace cos a par sa valeur VR2-sin a2 (*), il vient alors

et en élevant au quarré, on trouve

R2 sin 2a24R2 sin a2-4 sin a;

prenant sin a pour l'inconnue dans cette équation qui peut se résoudre à la manière de celles du second degré, on obtient

ou

sin a±√R2±÷RV R2

=

sin 2a2.

Si l'on fait 2a=a', on aura a = a', et par conséquent

sind√RRVR-sin a",

sina 2R2±2R cosa,

en mettant cos a2 au lieu de R2-sin a′2 (10), en multipliant les quantités sous le radical par 4, et en divisant au-dehors par 2, ce qui ne change rien à l'expression. Telle est la formule qui donne le sinus de la moitié d'un arc, lorsqu'on a celui de cet arc.

13. On peut arriver à ce résultat par une construction très-simple.

Fig. 5. Si l'on divise l'arc AM, fig. 5, en deux parties égales, la corde AQM se trouvera également divisée en deux

(*) Le Lecteur est prévenu que dorénavant je désignerai le quarré du sinus de l'arc a par sin a2, expression qu'il ne faut pas prendre pour le sinus du quarré de l'arc a, ainsi sin a2= =(sin a)2,

parties égales, et QM sera le sinus de MN ou de la moitié de AM; le triangle AMP, rectangle en P, donnera

et comme

que

2

2

AM-VPM+ AP;

AP-AC-CP-R-cosAM-R-cos a',

d'ailleurs PM sin AM=sin a', on aura

=

=

AM Vsina+R-2Rcosa+cosa2-V2R-2Rcosa, à cause que sin a' + cos a2=R2 (10); et on en déduira

QM={AQM= V2R2—2Rcos a'.

On ne trouve de cette manière que la deuxième valeur de sin a': l'autre est MQ'; car l'arc MN' A', qui compose, avec l'arc AM, la demi-circonférence, a aussi pour sinus PM, puisque cette ligne est bien en effet la perpendiculaire abaissée de l'extrémité M sur le rayon CA' qui passe par l'autre extrémité (5); et rien dans l'équation d'où l'on est parti, ne faisant connaître, lequel de ces deux arcs on se propose de diviser, on doit trouver en même temps le sinus de la moitié du premier et celui de la moitié du second. Suivant la construction, on aurait

2

2

2

AMVPM+AP=VPM+(AC+ CP)a

2

= sin a2 + (R+ cos a')2

= √ sin a2 + R2 + 2R cos a' + cos a22
√ 2R2 + 2R cos a',

et par conséquent

MQ'=sina'=√2R2+2R cos a',

résultat qui est la première valeur de sin a'.

Il faut bien observer que, quoique sin d' soit le même dans les deux valeurs de sina', l'arc a' est différent; pour l'une d'elles, cet arc est AM, et pour l'autre A'M,

le

qui est le supplément de AM, car on entend par supplément d'un angle ou d'un arc, ce qu'il faut ajouter à cet angle ou à cet arc pour en faire deux droits ou la demi-circonférence. On conclura aussi de ce qui précède, que le sinus du supplément d'un arc est le même que celui de cet arc. Je donnerai plus loin des notions générales sur les différens arcs qui peuvent avoir le même sinus, la même tangente, etc.

14. Il suit de ce qui précède, que le sinus d'un arc quelconque AN est la moitié de la corde AM de l'arc double ANM, et que la corde AM est le double du sinus de l'arc AN, moitié de ANM; de manière que lorsque les sinus sont connus, on en déduit les cordes, et vice versa.

15. Ce ne sont pas les valeurs absolues des sinus que l'on a besoin de calculer, mais seulement leur rapport avec le rayon; puisqu'il suffit de connaître Fig. 2 dans tous les triangles CPM, CP'M', etc., fig. 2, les rapports que les côtés ont entre eux. On peut en conséquence, pour plus de simplicité, prendre le rayon pour unité, et exprimer les sinus PM, P'M', etc. en parties décimales de cette unité, ou, comme on le faisait autrefois, supposer ce rayon divisé en 100 000 parties.

16. Il est à propos d'observer que la longueur d'un arc est toujours moindre que celle de sa tangente, et plus grande que celle de son sinus. En effet, si on Fig. 6. prend au-dessous du rayon AC, fig. 6, l'arc AM' = AM, que l'on tire de la corde MM', et que l'on mène les tangentes MT, M'T, il est facile de voir que ces tangentes doivent rencontrer toutes deux le rayon AC dans un même point, puisque les triangles CMT et CM'T, sont égaux. Les lignes MT et M'T' étant égales aussi bien que les lignes PM et PM', et les arcs AM et AM', on aura 2AM <2MT et 2AM>2PM, parce

1

que la longueur d'un arc de cercle est comprise entre celles des portions correspondantes des polygones inscrit et circonscrit [Géom. 151] (*); et l'on en conclura AMMT, AMPM.

Je ferai remarquer à cette occasion, que le rapport entre la tangente et le sinus d'un arc tend sans cesse vers l'unité, à mesure que l'arc diminue; en effet, de

sin a tang a

= cos a; et comme

cos a approche sans cesse de l'unité, il s'ensuit que la tangente et le sinus approchent aussi de plus en plus de l'égalité, parce que la limite (Alg. 234) de leur rapport est l'unité.

17. Il suit évidemment de là, que si la valeur de la tangente et celle du sinus d'un petit arc AM, ne diffèrent point dans un certain nombre de leurs premiers chiffres, ces mêmes premiers chiffres donneront aussi une va→ leur approchée de l'arc. En prenant, par exemple, PM=0,0001, on trouve

2

CP=√ CM-PM=0,999 999 995,

et

MT:

CMXPM
СР

=0,000 100 000 * 5,

(*) La proposition rappelée ci-dessus est un cas particulier de cette autre Les lignes qui sont partout convexes dans le même sens, sont d'autant plus longues qu'elles s'écartent davantage de la ligne droite. En effet, si l'on mène à la ligne courbe ACB, fig. 7, Fig. 7. intérieure à la courbe AMB, une tangente DE, cette tangente sera plus courte que l'arc DME, et on aura ADEB <AMB. Tirant ensuite par les points Het L, intermédiaires entre A et C, Cet B, les tangentes FG, IK, on formera une nouvelle ligne brisée AFGIKB, qui sera moindre que la première, puisque FG <FD+DG, IK <IE+EK. Il est évident que l'on construira de la même manière une suite indéfinie de lignes brisées qui iront sans cesse en diminuant à mesure qu'elles approcheront de se confondre avec la -courbe ABC, qui sera donc non-seulement plus petite que AMB, mais encore que toutes les lignes brisées dont on vient de parler.

valeur qui ne diffère de PM qu'au treizième chiffre; on peut donc prendre ce nombre pour la valeur de l'arc AM exprimé en parties du rayon (*).

18. Pour appliquer les formules des nos 12, 11 et 10, il faut connaître au moins le sinus de l'un des arcs compris dans le quart de cercle; or il y a deux de ces arcs dont le sinus est facilement connu, savoir, le quadrans et son tiers. En effet, le sinus du quadrans n'est autre chose que le rayon, et le sinus du tiers de cet arc est égal à la moitié du rayon.

La première de ces valeurs est évidente par la figure 2; et la seconde résulte de ce que le côté de l'hexagone inscrit, ou, ce qui est la même chose, la corde des Fig. 8. du quadrans, fig. 8, est égale au rayon (Géom. 146); la moitié de cette corde sera donc le sinus de du quadrans (14).

En partant du quadrans entier, la formule

sind V2R-2Rcos d

donne le sinus de la moitié, puis celui de la moitié de cette moitié ou du quart du quadrans, et conduit à toutes les fractions comprises dans la suite

(*) La même chose se prouve en réduisant en série l'expression de

Vi-sin a

quantité, par la formule du binome, on trouvera

tang a= sin asin a3 + sin a5 + etc.

Il est évident que tant que sin a sera une petite fraction décimale, le terme sin a3 ne pourra influer que sur les derniers chiffres de l'expression de tang a, et que dans les premiers on aura tang a➡sin a.

Pour sin a=0,0001, on a sin a3=0,000 000 000 000 5, résul

tat qui ne peut changer que le treizième chiffre.