Quoique je n'aye considéré que le quadrans DE les trois autres, qui complètent la circonférence, sont compris dans l'équation x2+ y2=r2; car l'ordonnée y ayant, pour une même valeur de x, deux valeurs, savoir: √ r2 — x2,

et

+ Vr2 = 202 la seconde doit être portée du côté opposé à la première (76), et fournit par conséquent tous les points du quadrans DE'. Mais on peut aussi donner à x des va― leurs négatives qui doivent se porter de A en D', puisque les valeurs positives ont été portées de A en D; et à chacune de ces valeurs répondront deux valeurs de y: la valeur positive donnera les points du quadrans D'E, et la valeur négative les points du quadrans D'E'.

84. Quoiqu'on ne tire des équations

que des valeurs appartenant à des points toujours disjoints, néanmoins la continuité qui résulte de la description de la ligne droite et du cercle, représentés respectivement par ces équations, n'est point violée, parce qu'on peut toujours déterminer par leur moyen deux points aussi voisins l'un de l'autre qu'on voudra, puisqu'il suffit pour cela de prendre pour x deux valeurs consécutives presque égales, et que rien ne limite la petitesse de la différence qu'on peut mettre entre elles.

85. Cette manière de représenter le cours des lignes, c'est-à-dire les circonstances de leur forme et de leur situation, en les rapportant à une droite, par des perpendiculaires, mérite la plus grande attention; on voit qu'elle revient à déterminer la position d'un point quelconque par le moyen de sa distance à deux droites AB et AC, Fig. 34. perpendiculaires entre elles. Le point M, fig. 34, est en effet déterminé lorsqu'on a les distances AP et AQ,

puisqu'il se trouve à l'intersection des lignes PM et QM, menées par les points P et Q, parallèlement aux droites AB et AC.

nue,

Les lignes AP et AQ, ou leurs égales, QM et PM, se nomment des coordonnées. On se sert ordinairement du mot abscisse pour désigner celle qu'on suppose conet l'on donne à l'autre le nom d'ordonnée. Ainsi, dans les exemples précédens, où j'ai toujours exprimé les lignes PM par les lignes AP, PM était l'ordonnée, et AP l'abscisse. Les lignes AB et AC, qui déterminent la direction des coordonnées, se nomment les axes des coordonnées.

Il faut bien observer que pour les points situés sur la ligne AB, la distance AQ ou PM est nulle, et que par conséquent, si on la représente pary, on a pour tous ces points, y=0; par la même raison, on a QM ou AP, ou x=o, pour tous ceux qui sont placés sur l'axe AC; et enfin au point A, qu'on nomme l'origine des coordonnées, on a en même temps

En ne donnant

que les valeurs absolues de l'abscisse AP et de l'ordonnée PM, le point M reste encore indéterminé à quelques égards; car on ne connaît alors que les distances de ce point aux droites indéfinies BB' et CC', fig. 37; et en conservant ces mêmes distances, il Fig. 373 pourrait se trouver indifféremment dans l'un quelconque des quatre angles droits BAC, B'AC, B'AC', BAC; mais les combinaisons des signes affectés aux coordonnées AP et PM, font connaître dans lequel de ces angles se trouve le point pròposé. En effet, étant convenu de donner le signe + aux parties de la ligne AB, en allant de A vers B, le signe sera celui qu'il faudra assigner aux parties de AB', en allant de A vers B'. De

même, si l'on a donné le signe + aux parties de AC; en allant de A vers C, les parties de AC' en allant de A vers C', seront nécessairement affectées du signe

Le choix des lignes AB et AC, perpendiculaires entre elles, n'est pas le seul qu'on puisse faire pour déterminer sur un plan la position d'un système quelconque de points; toute combinaison de lignes capable de fixer la position d'un point, ses distances à deux points donnés, par exemple, serait également propre à cet usage ; mais dans le plus grand nombre de cas, les coordonnées perpendiculaires sont celles dont l'emploi présente le plus de facilité; et on verra plus loin plusieurs exemples de la manière dont on passe de ces coordonnées à diverses manières d'assigner sur un plan la position des points.

86. L'équation qui exprime les relations entre les AP et les PM, pour une ligne donnée, s'appelle l'équation de cette ligne, et celle-ci se nomme à son tour le lieu de l'équation qui lui appartient.

Il est visible que toute question géométrique indéterminée, renfermant deux inconnues, conduit à un lieu géométrique. S'il s'agissait, par exemple, de former tous les triangles rectangles que l'on peut construire sur une hypotenuse donnée a, en nommant x et y les côtés de l'angle droit de ce triangle, l'équation du problème se

perpen

rait x2+ya2; et on satisferait à la question en décrivant sur un rayon égal à a un quart de cercle, et en abaissant de tous les points de ce quart de cercle des diculaires sur son rayon : le quart de cercle serait le lieu de tous les sommets de l'un des angles aigus de ces triangles.

L'équation d'une courbe s'obtient toujours en exprimant analytiquement, ou l'une quelconque de ses propriétés, comme on l'a fait pour la ligne droite, ou les circonstances de sa description, ainsi qu'on en a usé à l'égard du cercle. Réciproquement, une équation quelconque, considérée en elle-même, donne aussi naissance à une courbe dont elle fait connaître les propriétés. Ce dernier point de vue étant le plus général et le plus fécond, c'est désormais de la considération des équations que je déduirai les lignes.

87. De toutes les équations à deux indéterminées, la plus simple est celle du premier degré ; et elle appartient à la ligne droite, la plus simple de toutes les lignes. Cette équation peut être représentée par Cy=Ax+ B; mais en la divisant par C, elle ne perdra rien de sa généralité, et deviendra y=x+, ouy=ax+b, en faisant

C

B

désormais.

A

B

b: c'est sous cette forme que je l'emploierai

c'est-à-dire que dans toute l'étendue de la droite, le rap- Fig. 35. port de PM à AP, fig. 35, sera constant. Cette propriété, qui n'est que l'expression de la similitude des triangles APM, AP'M' etc., et de laquelle il résulte que

P, P', etc., sur la ligne AB, ne peut appartenir qu'à la ligne droite AE, menée par le point A, origine des coordonnées.

Le rapport, ou le coefficient a, dépend de l'angle que fait la droite AE avec l'axe des abscisses AB; mais dans le triangle APM, que je suppose rectangle en P, le rapport de PM à AP est égal à la tangente de l'angle PAM (30): a représente donc la tangente de cet angle.

En considérant l'équation y = ax + b, on voit que la nouvelle ordonnéey ne diffère de la première, y=ax, qu'en ce qu'elle la surpasse de la quantité b; d'où il suit que si on prend AD=b, et qu'on mène la ligne DF parallèle à AE, elle sera le lieu de l'équation y-ax+b, puisqu'on aura

PNPM + MN PM +AD,

P'N'P'M' + M'N'P'M' + AD, etc.

et il faut bien remarquer que le coefficient a restera le même pour toutes les droites parallèles à AE.

Il est aisé de voir que rien, dans l'équation y=ax+b, ne limite les valeurs que l'on peut donner à x, et que par conséquent celles de y deviendront aussi grandes qu'on voudra; mais en même temps, rien ne bornant le cours de la ligne DF dans l'espace indéfini BAC, on trouvera toujours des abscisses et des ordonnées assez grandes pour représenter les valeurs de y et de x, qui satisferont à l'équation proposée.

Faisant x=0, on aura y - b, et cette valeur appartiendra au point D, où la droite DF rencontre l'axe AC des ordonnées. Lorsque x sera négatif, on trouvera