le second membre, en même temps que xa l'est dans le premier, les racines de l'équation proposée seront toujours réelles.

L'équation x-ax-b2 se change en ax-x2= b2,' —x2— et peut alors s'écrire ainsi :

Sous cette dernière forme elle se rapporte à la propriété des cordes qui se coupent dans le cercle; car si l'on Fig. 29. décrit sur un diamètre AB—a, fig 29, un cercle, qu'on élève au point A une perpendiculaire AC=b, qu'on tire ensuite CM parallèle à AB, et que par les points M et M', où CM rencontre le cercle, on abaisse sur AB, les perpendiculaires PM et P'M', on aura

ou

puis

ou

--3

AP × BP=AP (AB— AP)=PM,

AP (a — AP) = b2,

AP' × BP' = AP' ( AB — AP') = P′ M,

AP' (a AP') = b2:

d'où l'on voit qu'en prenant successivement pour a les droites AP et AP', on retombera sur l'équation proposée ax- x2 = b2‚ ·

et que par conséquent les droites AP et AP', obtenues les procédés ci-dessus, sont les valeurs de l'in

par

connue x.

Il est visible que quand AC surpassera le rayon du cercle oua, la droite CM ne rencontrera plus le cercle et ne fournira par conséquent aucune détermination; mais alors les racines de l'équation proposée seront imaginaires.

Les racines de l'équation x2+ax=-b2 ne diffèrent de celles de l'équation x-ax-b, que parce

qu'elles sont affectées du signe ; mais leur grandeur s'obtiendra toujours par la construction que je viens d'indiquer.

74. Dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie, le signe s'interprète en général comme à l'égard des nombres, en renversant d'une certaine manière l'énoncé de la question, ou en prenant les lignes quien sont affectées, dans un sens contraire à celui où on les avait supposées d'abord.

Avant d'aller plus loin, je dois rappeler que les quantités négatives tirent leur origine des soustractions qui ne peuvent s'effectuer dans l'ordre où elles sont indiquées, parce que la quantité à retrancher se trouve plus grande que celle dont on doit la retrancher. On reconnaît par cette circonstance, qu'il y avait erreur dans l'énoncé de la question, ou au moins dans son application au cas particulier que l'on a eu en vue; et en redressant cette erreur, c'est-à-dire en modifiant l'énoncé de manière à rendre possible la soustraction qui n'a pu s'exécuter, on parvient à un résultat positif; mais pour certaines questions, pour toutes celles qui mènent à des équations du premier degré, par exemple, on n'a pas besoin de prendre cette peine. Le signe du résultat indique lui-même le renversement dont l'énoncé est susceptible; et les valeursnégatives, employées conformément aux règles établies pour effectuer les opérations sur les quantités affectées du signe —, satisfont aussi bien aux questions que celles qui sont positives c'est pour cela que l'on a changé la dénomination de racines fausses, que les analystes donnaientautrefois aux racines négatives des équations.

C'est donc aussi par la soustraction que l'on doit expliquer, sur les figures géométriques, les valeurs négatives que l'Algèbre donne à certaines lignes; et pour soustraire une ligne d'une autre, il suffit de porter la première sur la

Fig. 30.

seconde, à partir de l'une des extrémités de celle-ci:mais il y a, sur cette opération graphique, quelques observations à faire, qui tiennent à la manière dont les lignes se décrivent.

en

Soit d'abord CD, fig. 3o, la ligne àsoustraire de AB; comme la première est moindre que la seconde, portant cette première de B en c, leur différence Ac sera placée à la droite du point A; mais si l'on avait à retrancher C'D', plus grande que AB, et qu'on portât toujours sur AB, à partir de la même extrémité B, la ligne à retrancher, la différence des deux droites proposées serait marquée en Ac', sur le prolongement de AB, et serait placée à gauche du point A, c'est-à-dire d'un côté opposé au résultat Ac de la première opération : c'est à ce changement de situation que répond le signe -.

Il semblerait, au premier coup-d'œil, que l'on devrait effectuer la soustraction indiquée sur les lignes C'D' et AB, en portant la plus petite sur la plus grande, car c'est ce que l'on fait sur les nombres, lorsqu'on ôte le plus petit du plus grand; mais il faut observer, à l'égard des lignes, qu'elles sont en général employées à marquer des distances à un certain point auquel on en rapporte d'autres, et qu'on regarde comme fixe; elles prennent donc leur accroissement par l'extrémité opposée à ce point, et alors la soustraction, qui, par sa nature, est inverse de l'addition de laquelle résultent en général les accroissemens, doit s'opérer aussi en sens inverse de celle-là, et par conséquent en allant vers le côté où les lignes diminuent. De là vient que si le point A sur la droite AB est le point fixe dont je parle, la soustraction de CD ou de C'D' doit s'opérer à partir du point B. La continuité des lignes et la possibilité de les prolonger indéfiniment dans les deux sens, donne à leur égard le moyen d'opérer, comme on vient de le voir, la soustraction de la même manière, quoique la quantité à soustraire soit devenue la plus

!

grande des deux. Voici un problème fort simple qui confirmera ce qu'on vient de lire.

75. Mener dans un triangle donné ABC, fig. 31, Fig. 31. parallèlement au côté AC, une ligne DE qui soit égale à une ligne donnée MN.

Les côtés du triangle étant donnés, je ferai

et je prendrai pour inconnue la distance AD, parce que la position d'une ligne parallèle à une ligne donnée, est déterminée par un seul de ses points. En faisant AD=x, j'aurai BD —a—x, et les triangles semblables BAC et BDE donneront

AC

La valeur de x se construit (68), en retranchant de b, la droite CFc, puis tirant FD parallèle à CB; car la similitude des triangles ABC, AFD, fournit cette proportion :

Si la ligne MN devenait plus grande que AC, elle ne pourrait plus trouver place dans l'intérieur du triangle ABC il faudrait prolonger les côtés AB et BC; mais alors le point D passerait en D' de l'autre côté du point A, et c'est précisément ce qu'indiquent le calcul et la construction.

En effet, si l'on a M'N'>AC, il en résultera c>b; la quantité b-c sera par conséquent négative; mais en faisant la soustraction des lignes, comme il a été indiqué dans le numéro précédent, le point F passera en F", et la ligne F'D', menée par le point F" parallèlement à BC, ne pourra rencontrer que le prolongement du côté AB en D'.

76. En général, toutes les fois qu'il s'agit de distances rapportées à un point fixe et comptées sur une même ligne, ou sur des lignes parallèles, celles qui sont affectées du signe doivent se prendre dans un sens opposé à celles qui sont affectées du signe+.

En effet, si l'on considère la situation respective de deux points dont les distances à une droite quelconque soient exprimées par a+b et a-c, il est évident a—c, que la distance mutuelle de ces points est b+c, puisque a+b (a−c) = b + c; et pour les placer de cette manière par rapport à une droite quelconque A'B', Fig. 32. fig. 32, il faut tirer d'abord, soit d'un côté, soit de l'autre de cette ligne, à une distance AA'—a, une parallèle AB, puis mener ensuite deux autres lignes paralJèles à celles-ci, l'une QM, en dehors des premières et à une distance AQ=b, l'autre Q'M' en dedans et à une distance AQ'c. Par ce moyen, tous les points, tels que Met M', placés aux rencontres des dernières parallèles et d'une perpendiculaire à la ligne A'B', auront entre eux la distance exigée, et se trouveront dans une situation opposée par rapport à la parallèleintermédiaire AB, de laquelle leurs éloignemens respectifs sont marqués par + b et -c. Il est facile de voir qu'ils seraient tous deux du même côté de AB, si leurs distances à la ligne A'B' étaient exprimées par a+b et a+c, parce qu'alors leur distance mutuelle serait b-c.

C'est ainsi que les sinus, qui sont les distances des extrémités des arcs au diamètre AA', fig. 10, et les cosinus