Das Verfahren der orthogonalen axonometrischen Projektion. 842. Die Bestimmung der orthogonalen axonometrischen Projektion durch Bildebene und Koordinatensystem 844. Bestimmung des Koordinatensystems aus dem Spurendreieck 845. Bestimmung des Bildes vom Achsenkreuz aus den Verhältnis- 846. Natürlicher Maßstab. Maßstab des Bildes. Achsenmaßstäbe. 847. Isometrische, dimetrische und trimetrische Projektion. Ver- 848. Punkt, Gerade und Ebene in axonometrischer Projektion 856. Darstellung eines auf П, stehenden Rotationskegels und eines liegenden Rotationscylinders mit Eigen- und Schlagschatten 409 XV. Kapitel. Freie Perspektive. Perspektive Darstellung von Ebene, Gerade und Punkt. 857. 858. Augpunkt, Bildebene und Distanz: reelle und virtuelle Bilder 859. Darstellung der Ebene; Spur-, Flucht- und Verschwindungs- 860. Darstellung der Geraden; Spur-, Flucht- und Verschwindungs- 868. Die Parallele zu einer Geraden durch einen gegebenen Punkt 419 869. Die gemeinsame Sekante zweier Geraden durch einen gegebenen Punkt; eine Gerade durch zwei Punkte 870. In einer Ebene die Geraden von gegebenem Neigungswinkel 873. Die Geraden einer Ebene, die mit einer bestimmten Geraden außerhalb der Ebene, einen gegebenen Winkel einschließen 424 874. Die gemeinsame Normale zweier Geraden 875. Die Geraden, die mit zwei windschiefen Geraden bestimmte 889. Grundebene, vertikale Bildebene, Grundlinie, Auge, Ver- schwindungsebene, Hauptpunkt, Distanz, Horizont, Distanz- kreis, Distanzpunkte. Lage des Objektes. Umgelegter Grund- und Aufriß. Umgelegtes Auge. Gerade und schräge Ansicht 449 890. Perspektive eines Punktes bei gerader oder schräger Ansicht 451 Centralkollineation räumlicher Figuren (Reliefperspektive). 907. 908. Grundgesetze der räumlichen Centralkollineation. Centrum, Kollineationsebene, Gegenebenen . 909. 910. Reliefperspektive. Auge, Spurebene, Fluchtebene, Verschwin- dungsebene, Grundebene, Grundlinie, Hauptpunkt, Distanz, 911. Reliefbild einer Geraden, eines Punktes, einer Ebene 912. Beziehungen zwischen den Grund- und Aufrissen von Original 913. Affinität, Ähnlichkeit und Kongruenz räumlicher Figuren als Spezialfälle der Centralkollineation des Raumes. Anwendung der Kollinearverwandtschaft auf die Theorie der Flächen. 479 Der schiefe Cylinder, insbesondere der schiefe Kreiscylinder 920. Der Rotationskegel mit einer zum Grundriß normalen Achse 489 ACHTES KAPITEL. Rotationsflächen. Allgemeines. Eigen- und Schlagschatten, ihr gegenseitiges Verhalten. 525. Ist eine Kurve mit einer festen Geraden starr verbunden, und läßt man sie um diese rotieren, so beschreibt sie eine Rotationsfläche; die feste Gerade heißt die Rotationsachse. Jeder Kurvenpunkt beschreibt bei dieser Bewegung einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Achse liegt und dessen Ebene senkrecht zur Achse steht. Alle Ebenen senkrecht zur Achse schneiden die Rotationsfläche in einem oder mehreren Kreisen, die man kurz als Parallelkreise bezeichnet. Alle Ebenen durch die Achse schneiden die Fläche in kongruenten Kurven; man nennt sie Meridiankurven und die sie enthaltenden Ebenen Meridianschnitte. man auf einer Rotationsfläche irgend eine ebene oder Raumkurve, die jeden Parallelkreis einmal schneidet, so kann die Fläche durch Rotation dieser Kurve um die feste Achse erzeugt werden; speziell kann man die Meridiankurve zur Erzeugung der Fläche verwenden. Zieht Durch jeden Punkt der Rotationsfläche geht ein Parallelkreis und eine Meridiankurve; man kennt deshalb in jedem Flächenpunkte zwei Tangenten, nämlich eine an die bezügliche Meridiankurve, sie trifft die Achse, und eine an den bezüglichen Parallelkreis, sie ist senkrecht zur Richtung der Achse. Dieses lehrt uns, daß jede Tangentialebene der Rotationsfläche senkrecht steht zu der Meridianebene durch ihren Berührungspunkt. Wir erkennen also, daß die Tangentialebenen in allen Punkten einer Meridiankurve eine Cylinderfläche umhüllen, deren Leitkurve die Meridiankurve ist und deren Mantellinien senkrecht zur Ebene dieser Kurve sind. Alle Tangentialebenen in den Punkten eines Parallelkreises umhüllen ROHN u. PAPPERITZ. II. 1 einen geraden Kreis kegel, der diesen zum Grundkreis hat und dessen Spitze auf der Achse liegt. Die Mantellinien des Kreiskegels sind die Tangenten der Meridiankurven, deren Berührungspunkte auf jenem Parallelkreise liegen. Alle Normalen einer Rotationsfläche treffen ihre Achse. 526. Läßt man eine Fläche um eine mit ihr starr verbundene Gerade als Achse rotieren, so giebt es eine Hüllfläche, die alle Lagen der rotierenden Fläche einhüllt und die offenbar eine Rotationsfläche ist. Die Kreise, deren Mittelpunkte auf der Achse liegen und deren Ebenen zur Achse senkrecht stehen, verhalten sich nämlich gegen die rotierende Fläche verschieden, indem sie dieselbe entweder schneiden, oder nicht schneiden. Die Hüllfläche bildet die Grenze zwischen den beiden Arten von Kreisen; auf ihr liegen die Parallelkreise, die die rotierende Fläche in einer Lage - und somit in allen Lagen berühren. Die hier als Hüllfläche definierte Rotationsfläche berührt jede der eingehüllten Flächen, d. h. jede Lage der rotierenden Fläche, längs einer Kurve; in den Punkten dieser Berührungskurve stimmen die Tangentialebenen der Hüllfläche und der eingehüllten Fläche überein. Hieraus folgt aber, daß alle Punkte der rotierenden Fläche, deren Normalen die Rotationsachse treffen, auf ihrer Berührungskurve mit der Hüllfläche und somit auf dieser selbst liegen. Hiermit ist auf der rotierenden Fläche die Berührungskurve definiert, durch deren Rotation die Hüllfläche entsteht. Jede zur Achse senkrechte Ebene schneidet die rotierende Fläche in einer Kurve; diese berührt die Hüllfläche in den Punkten, deren Normalen durch den Achsenschnittpunkt der Ebene gehen. 527. Bei allen Fragestellungen, die sich auf Rotationsflächen beziehen, spielen die Parallelkreise und Meridiankurven eine besondere Rolle; nur bisweilen finden andere einfache Kurven der Fläche Verwendung. So verwendet man Parallelkreise, um die Schnittkurve der Rotationsfläche mit einer Ebene oder mit einer anderen Fläche zu zeichnen. So kann man Parallelkreise bei der Bestimmung des wahren Umrisses der Rotationsfläche oder der Grenzkurve von Licht und Eigenschatten auf ihr mit größtem Vorteil benutzen. Auf einem Parallelkreise gehören die beiden Punkte dem wahren Umrisse an, deren Tangentialebenen die Projektionsrichtung enthalten; ebenso gehören zwei Punkte der Grenzkurve an; ihre Tangentialebenen sind dem Lichtstrahl parallel. Die Tangentialebenen in den Punkten eines Parallelkreises umhüllen aber einen geraden Kreiskegel, der diesen zum Basiskreise hat; auf ihm suchen wir die |