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durch S geht, so wird sie zum Lichtstrahle parallel. Dies tritt aber ein bei einer Rotation um GS'S oder um HSS, wenn G1 und H die Schnittpunkte von ET, mit dem um S′ durch S. geschlagenen Kreise i bedeuten. Wird der Punkt P um die Achse a um eben diese Winkel verschraubt, so nimmt er zwei neue Lagen Q resp. R auf der Fläche ein, in denen er jedesmal der Lichtgrenze u angehört (≤ P'S'Q' = ≤ G1SS und ▲ P'S'R' = ▲ H1SS ̧). Hieraus folgt:

Auf jedem Gange einer Schraubenlinie s der Fläche liegen zwei reelle (getrennte oder vereinte) oder imaginäre Punkte der Lichtgrenze u.

Um die Konstruktion der Kurve u durchzuführen, muß man den Punkt P die Erzeugende e durchlaufen lassen. Dabei bleibt, falls c eine Gerade ist, also eine Regelschraubenfläche vorliegt (602), der Punkt E, ungeändert.

Eine Vereinfachung tritt ein, wenn man den Punkten S ̧, E, und Teine Viertelumdrehung um S' im Sinne der aufwärtsgehenden Schraubenbewegung (also bei rechtsgängiger Fläche linksum) erteilt

(Fig. 386). Hierbei geht Tin P' über, S. in den Pol L des Lichtstrahles und E, in

den Pol E der Geraden e (SLIT, S'Ele'). Hieraus folgt die Konstruktion:

Um auf einer Schraubenlinies der Fläche die Punkte der Lichtgrenze zu finden, ziehe man in einem beliebigen. Punkte P von s die Tangente e der erzeugenden Kurve

und bestimme in П1

ihren Pol E, ebenso den Pol L des Lichtstrahles 1. Ferner zeichne man in П, den mit s' koncentrischen Kreis i durch L. Schneidet die Gerade P'E den Kreis i in G und H, so geht P durch Verschraubung um LGSL oder HSL in die

Punkte Q oder R der Lichtgrenze über. Bei einer Regelschraubenfläche bleibt E unverändert.

601. Aus der ersten Methode folgt, wenn man der Konstruktion eine spezielle Erzeugungsweise der Schraubenfläche zu Grunde legt, die zweite, bei der die Punkte der Lichtgrenze auf den einzelnen Erzeugenden bestimmt werden.

Gelten wieder die vorigen Bezeichnungen, bedeutet aber jetzt c einen Normalschnitt der Schraubenfläche (etwa den in П1 gelegenen), so liegt der Pol E von e unendlich weit auf dem von S' auf e gefällten Lote; mithin ist

a

T

auch PE e(Fig. 387). Verschraubt man daher P um LGSL oder LHS'L, so erhält man Punkte Q und R der Lichtgrenze. Sucht man aber auf c selbst die Lichtgrenzpunkte, so darf keine Verschraubung mehr stattfinden, weil dabei c in einen anderen Normalschnitt übergehen würde. Daher folgt: Alle Punkte des Normalschnittes c einer Schraubenfläche, deren Normalen durch den Pol L des Lichtstrahles gehen, gehören der Lichtgrenze u an. Da dies für jeden Normalschnitt gilt, können wir auch sagen: Die Lichtgrenze u auf der Schraubenfläche ist der Ort der Punkte. auf dem verschraubten Normalschnitte, deren Normalen die Polachse des Lichtstrahles treffen. Die fraglichen Normalen bilden eine Regelfläche und die Lichtgrenze bildet deren Durchschnittskurve mit der gegebenen Schraubenfläche (oder einen Teil davon).

Fig. 387.

-E

Bei der Ausführung der Konstruktion beschränkt man sich meist auf die Zeichnung des in П1 gelegenen Normalschnittes c. Bestimmt man dann alle Punkte von c, deren Normalen durch irgend einen festen Punkt M des Kreises i gehen und verschraubt diese Punkte um MS'L, so bilden sie die Lichtgrenzpunkte auf dem verschraubten Normalschnitte. Die Punkte von c, deren Normalen den Kreis berühren, bestimmen Schraubenlinien der Fläche, die

leicht gefunden.

die Lichtgrenze berühren. Die Berührungspunkte werden hieraus Im allgemeinen wird es leichter sein, Normalen der Kurve c in einzelnen Punkten derselben zu zeichnen, als ihre Normalen aus einem gegebenen Punkte zu ziehen. Man geht dann besser von ersteren aus und bestimmt ihre Schnittpunkte M mit i, um schließlich wieder die erforderliche Verschraubung eintreten zu lassen.

602. Besonders einfache Konstruktionen ergeben sich bei den Regelschraubenflächen (560). Indem die Gerade e durch ihre Verschraubung die Fläche erzeugt (Fig. 388), führt ihr Grundriß e' in à ̧ eine Rotation um den Punkt S' aus und bildet stets eine Tangente der kreisförmigen Projektion k' der Kehlschraubenlinie (bei geschlossenen Flächen reduziert sich k auf den Punkt S' selbst). Ferner liegt der Pol E der Erzeugenden e stets auf dem durch S' gezogenen

Lote von e' in konstanter Entfernung von S', beschreibt also einen Kreis um S'; sein Radius ist h cotg, wenn die erste Tafelneigung der Erzeugenden bedeutet.

Ist P ein Punkt auf e und trifft P'E den Kreis i in einem von L verschiedenen Punkte G, so geht P durch Verschraubung LGS'L in einen Punkt der Lichtgrenze u auf einer anderen Erzeugen

um

den über. Sucht man aber die Lichtgrenze auf e selbst, so darf keine Verschraubung stattfinden, d. h. LE schneidet e im Grundrisse P' des gesuchten Punktes. Daher gilt für die Lichtgrenze bei Parallelbeleuchtung oder für den wahren Umriß bei beliebiger Parallelprojektion der Satz:

Auf jeder erzeugenden Geraden e der Regelschraubenfläche liegt ein Punkt P ihrer Lichtgrenze u. Man findet seinen Grundriß P' aus dem Pol L des Lichtstrahles und dem Pol E der Erzeugenden, indem man LE mit dem Grundrisse e schneidet.

Man kann auch sagen:

Der Lichtgrenzpunkt P einer Erzeugenden e der Regelschraubenfläche wird im Grundrisse bestimmt, indem man das vom Pole L des Lichstrahles auf ihren Schatten e gefällte Lot mit e' schneidet.

1

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Denn, da LE aus SE, durch Drehung um 90° hervorgeht (596) und SE zum Grundrißschatten e parallel ist, so ist LP'ex• Man denke sich jetzt den allgemeinsten Fall: die Gerade e beschreibe um die Achse a eine beliebige Regelschraubenfläche und es handle sich um die Bestimmung des wahren Umrisses u für irgend eine gegebene Parallelprojektion. Diese Bestimmung wird ausgeführt mittels der senkrechten Projektion auf eine Normalebene П zur Achse a. In П seien der Achsenspurpunkt, L der Pol des projizierenden Strahles, E der irgend einer Erzeugenden e und e' ihre Projektion (AE e'). A und L sind feste Punkte; E und e dagegen führen, wenn e die Fläche durchläuft, miteinander fest verbunden eine Rotation um A aus. Hierbei beschreibt der Schnittpunkt e× LE in einem ununterbrochenen Zuge die Projektion u' von u. Von der entstehenden Kurve aber gilt der nachstehende Satz, dessen Einzelheiten erst in den folgenden Abschnitten erörtert werden:

Für jede Parallelprojektion ergiebt der wahre Umriß einer Regelschraubenfläche, senkrecht auf eine Normalebene П projiziert, eine unikursale Kurve u 4. Ordnung. Sie entsteht, wenn um den festen Punkt A ein Punkt E und eine zu AE senkrechte Gerade e rotieren, als Ort der Schnittpunkte von e' mit den Strahlen, die E mit einem. zweiten festen Punkte L verbinden. Die Kurve zerfällt eventuell in mehrere Kurven niederer Ordnung.

Betrachtet man im besonderen projizierende Strahlen senkrecht zu П (oder ||a), so liegt I mit A vereint. Werden die projizierenden Strahlen parallel zu П (oder a) angenommen, so liegt L in П unendlich fern in der zum projizierenden Strahle normalen Richtung und die Strahlen LE werden alle parallel. Sind die projizierenden Strahlen beliebig gegen П geneigt, so befindet sich L in endlichem Abstande von 4.- Offenbar ist die Kurve u' gegen die Gerade AL symmetrisch. Da ferner die Gerade e bei ihrer Rotation um den Punkt L im allgemeinen zweimal überschreitet, ist L ein Doppelpunkt der Kurve. Sie besitzt aber außerdem noch zwei weitere Doppelpunkte (symmetrisch zu AL), die reell getrennt,

vereint oder konjugiert imaginär sein können. Die Gestalt der Kurve ist sehr verschieden; sie hängt ab von den Verhältnissen der drei Strecken AE, AK und AL, wo AK den kürzesten Abstand der Geraden e von A bedeutet (vergl. 627, 628).

Allgemeines über Regelschraubenflächen.

603. Wir schicken unserer Betrachtung einige allgemeine Bemerkungen über Regelflächen voraus, die zum Teil auf früher Entwickeltes zurückgreifen.

Eine Regelfläche ist die Bahn einer nach irgend welchem Gesetze im Raume bewegten Geraden; letztere wird als Erzeugende bezeichnet. Man teilt die Regelflächen ein in abwickelbare (developpable) und windschiefe.

Liegen je zwei benachbarte Erzeugende in einer und derselben Ebene, so ist die Regelfläche abwickelbar. Die Verbindungsebene der Nachbarerzeugenden ist eine Tangentiale bene der Fläche und diese wird umgekehrt in allen Punkten einer Erzeugenden von einer und derselben Ebene berührt. Je zwei Nachbarerzeugende haben dann einen Punkt gemein; der Ort dieser Punkte ist eine Raumkurve, die die Erzeugenden der Fläche zu Tangenten, ihre Tangentialebenen zu Schmiegungsebenen hat und eine Rückkehrkante der Fläche bildet. Man erkennt leicht, daß die abwickelbare Regelfläche auch als Hüllfläche einer bewegten Ebene aufgefaßt werden kann, die sie in jeder ihrer Lagen berührt. Die Rückkehrkante liefert in jedem ebenen Schnitte der Fläche einen Rückkehrpunkt und bildet für jede Projektion einen Teil des wahren Umrisses. Zieht man durch einen festen Punkt des Raumes Parallelen zu den Erzeugenden, so bilden dieselben einen Richtungskegel der Fläche; die Tangentialebenen der letzteren liegen zu denen des Richtungskegels parallel. Ist der Winkel zweier Erzeugenden unendlich klein von der 1. Ordnung, so ist ihr kürzester Abstand von der 3. Ordnung unendlich klein (vergl. 456-462).

604. Wenn benachbarte Erzeugende einer Regelfläche (von einzelnen Ausnahmen abgesehen) nicht in derselben Ebene liegen, so heißt die Fläche windschief und ist nicht abwickelbar. Es steht dann der kürzeste Abstand der Nachbarerzeugenden zu ihrem Neigungswinkel in endlichem Verhältnisse, d. h. sie schneiden einander nicht. Auf jeder Erzeugenden g giebt es einen Punkt C,